HDU 4658 Integer Partition（生成函数）

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生成函数

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本文介绍了一种求解特定条件下数字本质不同拆分数的方法，通过生成函数和预处理技术，实现了高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

求 $n$ 的本质不同拆分数，要求每个数字出现次数小于 $k$

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入两个整数 $n,k(1\le T,n,k\le 10^5)$

Output

对于每组用例，输出保证每个数字出现次数小于 $k$ 的 $n$ 的本质不同拆分数，结果模 $10^9+7$

Sample Input

4
4 2
4 3
4 4
4 5

Sample Output

2
4
4
5

Solution

考虑划分中 $j$ 的数量的生成函数 $P_j(x)=\sum\limits_{i=0}^{k-1}x^{ij}=\frac{1-x^{kj}}{1-x^j}$

设 $p_k(n)$ 为 $n$ 的本质不同划分中每种数字出现次数小于 $k$ 的方案数，固定 $k$ 后考虑 $p_k(n)$ 的生成函数：

$F_k(x)=\prod\limits_{j\ge 1}P_j(x)=\frac{\prod\limits_{j\ge 1}(1-x^{kj})}{\prod\limits_{j\ge 1}(1-x^j)}=\frac{Q(x^k)}{Q(x)}=Q(x^k)P(x)$

即 $F_k(x)=(1-x^{k}-x^{2k}+x^{5k}+x^{7k}-...)(1+p(1)\cdot x+p(2)\cdot x^2+...)$

考虑等式两边 $x^n$ 的系数有 $p_k(n)=p(n)-p(n-k)-p(n-2k)+p(n-5k)+p(n-7k)-...$

预处理出 $p(1)$ ~ $p(n)$ 后枚举广义五边形数即可求出 $p_k(n)$ ，时间复杂度 $O(n\sqrt{n}+T\sqrt{n})$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100005;
#define mod 1000000007
void inc(int &x,int y)
{
    x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
void dec(int &x,int y)
{
    x=x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
int T,n,k,f[maxn];
int main()
{
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=100000;i++)
    {
        for(int j=1,w=1;w<=i;w+=3*j+1,j++)
            if(j&1)inc(f[i],f[i-w]);
            else dec(f[i],f[i-w]);
        for(int j=1,w=2;w<=i;w+=3*j+2,j++)
            if(j&1)inc(f[i],f[i-w]);
            else dec(f[i],f[i-w]);
    }
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        int ans=f[n];
        for(int j=1,w=1;w<=n/k;w+=3*j+1,j++)
            if(j&1)dec(ans,f[n-w*k]);
            else inc(ans,f[n-w*k]);
        for(int j=1,w=2;w<=n/k;w+=3*j+2,j++)
            if(j&1)dec(ans,f[n-w*k]);
            else inc(ans,f[n-w*k]);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}