HDU 2065 "红色病毒"问题（生成函数）

最新推荐文章于 2021-01-26 00:05:38 发布

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生成函数

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本文介绍了一种计算满足特定条件的字符串组合数量的方法，利用生成函数技巧解决了数学与计算机科学交叉领域的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

医学界发现的新病毒因其蔓延速度和 $Internet$ 上传播的”红色病毒”不相上下,被称为”红色病毒”,经研究发现,该病毒及其变种的 $DNA$ 的一条单链中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成对出现的。
现在有一长度为 $N$ 的字符串,满足一下条件:
(1) 字符串仅由 $A,B,C,D$ 四个字母组成;
(2) $A$ 出现偶数次(也可以不出现);
(3) $C$ 出现偶数次(也可以不出现);
计算满足条件的字符串个数.
当 $N=2$ 时,所有满足条件的字符串有如下 $6$ 个: $BB,BD,DB,DD,AA,CC$ .
由于这个数据肯能非常庞大,你只要给出最后两位数字即可.

Input

每组输入的第一行是一个整数 $T$ ,表示测试实例的个数,下面是T行数据,每行一个整数 $N(1\le N<2^{64})$ ,当 $T=0$ 时结束.

Output

对于每个测试实例,输出字符串个数的最后两位,每组输出后跟一个空行.

Sample Input

4
1
4
20
11
3
14
24
6
0

Sample Output

Case 1: 2
Case 2: 72
Case 3: 32
Case 4: 0

Case 1: 56
Case 2: 72
Case 3: 56

Solution

考虑 $A,B,C,D$ 四个字母数量的指数型生成函数

$P_A(x)=P_C(x)=\sum\limits_{i\ge 0}\frac{1}{(2i)!}x^{2i}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ ， $P_B(x)=P_D(x)=\sum\limits_{i\ge 0}\frac{1}{i!}x^i=e^x$

故四种字母取若干构成一个排列的生成函数 $F(x)=P_A^2(x)\cdot P_B^2(x)=(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^2\cdot e^{2x}=\frac{e^{4x}+2\cdot e^{2x}+1}{4}$

答案即为 $n!\cdot [x^n]F(x)=\frac{n!}{4}\cdot (\frac{4^n}{n!}+2\cdot \frac{2^n}{n!})=4^{n-1}+2^{n-1}$ ，其中 $[x^n]F(x)$ 表示 $F(x)$ 的 $x^n$ 项的系数

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100001;
#define mod 100
int Pow(int a,ll b,int c)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T,Case;
    ll n;
    while(scanf("%d",&T),T)
    {
        Case=1;
        while(T--)
        {
            scanf("%lld",&n);
            int ans=Pow(2,n-1,mod);
            ans=(ans*ans+ans)%mod;
            printf("Case %d: %d\n",Case++,ans);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}