BZOJ 1009 GT考试（dp+矩阵快速幂）

最新推荐文章于 2018-11-14 19:48:33 发布

v5zsq

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分类专栏： BZOJ 快速幂 dp

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本文介绍了一种用于生成GT考试准考证号的算法，该算法确保生成的准考证号不会包含考生认为不吉利的数字序列。通过使用动态规划和矩阵快速幂的方法，文章详细解释了如何高效地计算出符合要求的准考证号数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

阿申准备报名参加 $GT$ 考试，准考证号为 $N$ 位数 $X1X2....Xn(0\le Xi\le 9)$ ,他不希望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学 $A1A2...Am(0\le Ai\le 9)$ 有 $M$ 位，不出现是指 $X1X2...Xn$ 中没有恰好一段等于 $A1A2...Am$ . $A1$ 和 $X1$ 可以为 $0$

Input

第一行输入 $N,M,K$ .接下来一行输入 $M$ 位的数 $(N\le 10^9,M\le 20,K\le 1000)$

Output

阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模 $K$ 取余的结果.

Sample Input

4 3 100

111

Sample Output

Solution

以 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个字母已经确定，没有出现过不吉利数字，且末尾与不吉利数字最多匹配了 $j$ 位的方案数，则答案即为 $\sum\limits_{j=0}^{m-1}dp[n][j]$ ，由于已经匹配了 $j$ 位，假设要在后面加上一个数字 $k(0\le k\le 9)$ ，暴力求出此时这 $j+1$ 个数字与不吉利数字的最长匹配 $t$ ，只要 $t\neq m$ ，那么 $dp[i][j]$ 状态即可转移为 $dp[i+1][t]$ ，以此求出 $dp[i]$ 到 $dp[i+1]$ 的转移矩阵，矩阵快速幂加速转移即可

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef int M[22][22];
int n,m,mod;
char s[22];
void Mul(M &A,M B)
{
    M C;
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            C[i][j]=0;
            for(int k=0;k<m;k++)C[i][j]=(C[i][j]+A[i][k]*B[k][j])%mod; 
        }
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            A[i][j]=C[i][j];
}
void Pow(M &A,int k)
{
    M C;
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            C[i][j]=(i==j);
    while(k)
    {
        if(k&1)Mul(C,A);
        Mul(A,A);
        k>>=1;
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            A[i][j]=C[i][j];
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%s",&n,&m,&mod,s+1);
    M A;
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            A[i][j]=0;
    for(int j=0;j<m;j++)
        for(int k=0;k<=9;k++)
        {
            int i=j+1; 
            for(;i>=1;i--)
                if(s[i]-'0'==k)
                {
                    int flag=1;
                    for(int l=1;l<i;l++)
                        if(s[i-l]!=s[j-l+1])
                        {
                            flag=0;
                            break;
                        }
                    if(flag)break;
                }
            if(i!=m)A[i][j]++;
        }
    Pow(A,n);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<m;i++)ans=(ans+A[i][0])%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}