【BZOJ1009】GT考试 DP

最新推荐文章于 2019-03-13 17:08:36 发布

_傲寒

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_30401759/article/details/50625937

本文介绍了如何通过动态规划解决HNOI2008 GT考试的问题，包括定义状态、转移方程以及使用矩阵加速优化算法。通过分析题目特点，作者提出了一种清晰、优雅且简洁的KMP算法实现方式来处理不吉利数字的匹配问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1009: [HNOI2008]GT考试

Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 162 MB

阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2….Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学A1A2…Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2…Xn中没有恰好一段等于A1A2…Am. A1和X1可以为0

Input

第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 100%数据N<=10^9,M<=20,K<=1000 40%数据N<=1000 10%数据N<=6

Output

阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

Sample Input

4 3 100

111
Sample Output

原题链接

分析：显然这是一道dp。不难定义状态f(i,j)当前考号总长度为i，且末尾与不吉利串匹配了j个字符的方案数，那么答案为sum{f(n,i),0 <= i < m}。但是显然时空都无法通过。首先注意到长度为i的状态只与长度为i-1的状态有关，并且一个状态的转移也是与当前的考虑的考号长度无关的，因此可以使用矩阵加速。
虽然m非常小，转移时不必利用kmp的失配函数，但就编写程序的复杂度而言，kmp仍然比暴力寻找的思路清晰、优美、简洁。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
int p;
struct matrix{
    int r,c,num[30][30];
    matrix(){
        r=c=0;
        clr(num,0);
    }
    void print(){
        printf("%d %d\n",r,c);
        for(int i=0;i<r;i++){
            for(int j=0;j<c;j++)printf("%d ",num[i][j]);
            putchar('\n');
        }
    }
};
matrix mul(matrix a,matrix b){
    matrix c;
    c.r=a.r;c.c=b.c;
    for(int i=0;i<c.r;i++)
        for(int j=0;j<b.c;j++)
            for(int k=0;k<a.c;k++){
                c.num[i][j]+=a.num[i][k]*b.num[k][j];
                c.num[i][j]%=p;
            }
    return c;
}
matrix mpow(matrix &a,int b){
    if(b==1)return a;
    matrix t=mpow(a,b/2);
    t=mul(t,t);
    return b&1?mul(t,a):t;
}
int g[30];
char st[30];
void getfail(char *P,int *g,int len){
    g[0]=g[1]=0;
    for(int i=1;i<len;i++){
        int j=g[i];
        while(j&&P[i]!=P[j])j=g[j];
        g[i+1]=P[i]==P[j]?j+1:0;
    }
}
int main(){
    freopen("1009.in","r",stdin);
    int n,m;
    cin>>n>>m>>p>>st;
    matrix F,A;
    F.c=A.c=A.r=m;
    F.r=1;
    getfail(st,g,m);
    for(int i=0;i<m;i++){
        for(char c='0';c<='9';c++){
            int j=i;
            while(j&&st[j]!=c)j=g[j];
            if(st[j]==c)j++;
            A.num[i][j]++;
        }
    }
    F.num[0][0]=1;
    F=mul(F,mpow(A,n));
    int ans=0;
    for(int i=0;i<m;i++)ans=(ans+F.num[0][i])%p;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}