HDU 6172 Array Challenge（矩阵快速幂）

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快速幂

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本文介绍了一种通过矩阵快速幂解决特定递归序列的方法。针对一个包含多项式运算的复杂递归公式，文章展示了如何简化并求解该递归序列的具体步骤。通过对递推关系式的分析，最终实现了高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

$h_0=2,h_1=3,h_2=6,h_n=4h_{n-1}+17h_{n-2}-12h_{n-3}-16$

$b_n=3h_{n+1}h_n+9h_{n+1}h_{n-1}+9h_n^2+27h_nh_{n-1}-18h_{n+1}-126h_n-81h_{n-1}+192,n>0$

$a_n=b_n+4^n,n>0$

求 $\lfloor\sqrt{a_n}\rfloor,n>1$

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入一整数 $n$ $(1\le T\le 1000,1<n\le 10^{15})$

Output

求 $\lfloor\sqrt{a_n}\rfloor$ ，结果模 $10^9+7$

Sample Input

3
4
7
9

Sample Output

1255

Solution

先给出一个结论，若 $f_n=af_{n-1}+bf_{n-2}$ ，则 $f_{n+1}^2-af_{n+1}f_n-bf_n^2=-b(f_{n}^2-af_{n}f_{n-1}-bf_{n-1}^2)=(-b)^n(f_1^2-af_1f_0-bf_0^2)$

直接将 $f_{n+1}=af_n+bf_{n-1}$ 代入即可证明

考虑化简 $b_n$ ，有 $b_n=3(h_{n+1}+3h_n-8)(h_n+3h_{n-1}-8)+6h_{n+1}-30h_n-9h_{n-1}$

令 $f_n=h_n+3h_{n-1}-8$ ，配凑 $h_n=4h_{n-1}+17h_{n-2}-12h_{n-3}-16$ 得 $f_n=7f_{n-1}-4f_{n-2}$

由 $h_0=2,h_1=3,h_2=6$ 得 $f_1=1,f_2=7$ ，定义 $f_0=0$ 则同样的有 $f_2=7f_1-4f_0$ ，故由上面的结论可知 $f_{n+1}^2-7f_{n+1}f_n+4f_n^2=4^n$

进而 $a_n=3f_{n+1}f_n+4^n+6h_{n+1}-30h_n-9h_{n-1}=(f_{n+1}-2f_n)^2+6h_{n+1}-30h_n-9h_{n-1}$

不断展开 $h_{n+1}$ 可以证明 $0<6h_{n+1}-30h_n-9h_{n-1}<2f_{n+1}-4f_n+1,n>1$ ，故有 $(f_{n+1}-2f_n)^2<a_n<(f_{n+1}-2f_n+1)^2$ ，进而有 $\lfloor\sqrt{a_n}\rfloor=f_{n+1}-2f_n=7\lfloor\sqrt{a_{n-1}}\rfloor-4\lfloor\sqrt{a_{n-2}}\rfloor$ ，矩阵快速幂即可

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=5;
const ll mod=1000000007;
struct Mat
{
    ll mat[maxn][maxn];//矩阵 
    int row,col;//矩阵行列数 
};
Mat mod_mul(Mat a,Mat b,int p)//矩阵乘法 
{
    Mat ans;
    ans.row=a.row;
    ans.col=b.col;
    memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
    for(int i=0;i<ans.row;i++)        
        for(int k=0;k<a.col;k++)
            if(a.mat[i][k])
                for(int j=0;j<ans.col;j++)
                {
                    ans.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j]%mod;
                    ans.mat[i][j]%=p;
                }
    return ans;
}
Mat mod_pow(Mat a,ll k,int p)//矩阵快速幂 
{
    Mat ans;
    ans.row=a.row;
    ans.col=a.col;
    for(int i=0;i<a.row;i++)
        for(int j=0;j<a.col;j++)
            ans.mat[i][j]=(i==j);
    while(k)
    {
        if(k&1)ans=mod_mul(ans,a,p);
        a=mod_mul(a,a,p);
        k>>=1;
    }
    return ans;
}
Mat A,B;
int main()
{
    A.col=A.row=2;
    A.mat[0][0]=7,A.mat[0][1]=mod-4,A.mat[1][0]=1,A.mat[1][1]=0;
    int T;
    ll n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d",&n);
        if(n==2)printf("31\n");
        else if(n==3)printf("197\n");
        else
        {
            B=mod_pow(A,n-3,mod);
            ll ans=197ll*B.mat[0][0]%mod+31ll*B.mat[0][1]%mod;
            ans=(ans%mod+mod)%mod;
            printf("%I64d\n",ans);
        }
    }
}