HDU 6172 Array Challenge【推公式/猜+矩阵快速幂】

最新推荐文章于 2021-06-24 16:28:20 发布

_hxh

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决特定递推数列问题的方法，并提供了完整的C++代码实现。该方法适用于求解形如f(n)=4f(n-1)+17f(n-2)-12f(n-3)的递推公式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题意：给一堆公式，求 $\lfloor\sqrt{a[n]}\rfloor$ 的值。

官方题解的公式推的实在是没什么道理，但是这个xjb乱猜我真的是一口老血喷出来。。。

令 $f(n)=\lfloor\sqrt{a[n]}\rfloor$ ，则 $f(n)=4f(n-1)+17f(n-2)-12f(n-3)$

没错，就是 $h(n)$ 的那个递推……

然后就用矩阵快速幂瞎搞搞就好了，没什么可说的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;

struct Matrix{
    ll a[5][5];
    void init(){
        for (int i=1;i<=3;i++){
            for (int j=1;j<=3;j++){
                a[i][j]=0;
            }
        }
    }
    Matrix operator * (const Matrix &b) const{
        Matrix tmp;
        tmp.init();
        for (int i=1;i<=3;i++){
            for (int j=1;j<=3;j++){
                for (int k=1;k<=3;k++){
                    tmp.a[i][j]+=(a[i][k]*b.a[k][j]%mod+mod)%mod;
                }
            }
        }
        return tmp;
    }
};

Matrix mat_pow(Matrix mat,ll n){
    Matrix ans;
    ans.init();
    ans.a[1][1]=ans.a[2][2]=ans.a[3][3]=1;
    while (n){
        if (n&1)    ans=mat*ans;
        mat=mat*mat;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while (T--){
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        if (n==2)   printf("31\n");
        else if (n==3)  printf("197\n");
        else if (n==4)  printf("1255\n");
        else{
            Matrix mat;
            mat.init();
            mat.a[1][1]=4,mat.a[1][2]=17,mat.a[1][3]=-12;
            mat.a[2][1]=1,mat.a[3][2]=1;
            mat=mat_pow(mat,n-4);
            ll ans=((mat.a[1][1]*1255%mod+mat.a[1][2]*197%mod+mod)%mod+31*mat.a[1][3]%mod+mod)%mod;
            ans%=mod;
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
}