概率论复习笔记二——离散型分布和连续型分布

一、离散型分布

1.1 伯努利分布

在一次试验中，事件$A$出现的概率为$p$，不出现的概率为$q=1-p$，若以$\beta$记事件$A$出现的次数，则$\beta$取$0,1$两值，相应的概率分布为 b k = P { β = k } = p k q 1 − k , k = 0 , 1 (1) b_k=P\{\beta=k\}=p^kq^{1-k}, k=0,1\tag1 bk​=P{β=k}=pkq1−k,k=0,1(1)
这个分布称为伯努利分布，亦称为两点分布。

1.2 二项分布

在$n$重伯努利试验中，若以$\mu$记作成功的次数，则它是一个随机变量，$\mu$可能取的值为$0,1,2\cdots ,n$，其对应的概率分布为 b ( k ; n , p ) = P { μ = k } = C n k p k q n − k , k = 0 , 1 , 2 ⋯   , n (2) b(k;n,p)=P\{\mu=k\}=C_n^kp^kq^{n-k}, k=0,1,2\cdots,n\tag2 b(k;n,p)=P{μ=k}=Cnk​pkqn−k,k=0,1,2⋯,n(2)
简记为$\mu \sim B(n,p)$

1.3泊松分布

若随机变量$\xi$可取一切非负整数值，且 p { ξ = k } = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , 2 ⋯ (3) p\{\xi=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k=0,1,2\cdots\tag3 p{ξ=k}=k!λk​e−λ,k=0,1,2⋯(3)
其中，$\lambda >0$，则称$\xi$服从泊松分布，简记为$\xi \sim P(\lambda )$

1.4 几何分布

在成功概率为$p$的伯努利试验中，若以$\eta$记成功首次出现时的试验次数，则$\eta$为随机变量，它可能取的值为$1,2,3\cdots$，其概率分布为 g ( k , p ) = P { η = k } = q k − 1 p , k = 1 , 2 , ⋯ (4) g(k,p)=P\{\eta=k\}=q^{k-1}p, k=1, 2, \cdots\tag4 g(k,p)=P{η=k}=qk−1p,k=1,2,⋯(4)
简记为$\eta \sim g(k,p)$

几何分布有一个重要的性质——无记忆性：
假定已知在前$m$次试验中没有出现成功，那么为了达到首次成功还需要再等待的次数为${\eta }^{{}^{\prime }}$，其概率分布为 P { η ′ = k } = P { η = m + k ∣ η > m } = P { η = m + k } P { η > m } = q m + k − 1 p q m = q k − 1 p , k = 1 , 2 , ⋯ P\{\eta^{'}=k\}=P\{\eta=m+k|\eta\gt m\}=\frac{P\{\eta=m+k\}}{P\{\eta\gt m\}}=\frac{q^{m+k-1}p}{q^m}=q^{k-1}p, k=1,2,\cdots P{η′=k}=P{η=m+k∣η>m}=P{η>m}P{η=m+k}​=qmqm+k−1p​=qk−1p,k=1,2,⋯
可见，${\eta }^{{}^{\prime }}$的分布还是几何分布，即为了达到首次成功还需要再等待的次数与前面的失败次数无关。

1.5 帕斯卡分布

在成功概率为$p$的伯努利试验中，若以$\zeta$记第$r$次成功出现时的试验次数，则$\zeta$是随机变量，取值$r,r+1,\cdots$，其概率分布为帕斯卡分布： P { ζ = k } = C k − 1 r − 1 p r q k − r , k = r , r + 1 , ⋯ (5) P\{\zeta=k\}=C_{k-1}^{r-1}p^{r}q^{k-r},k=r,r+1,\cdots\tag 5 P{ζ=k}=Ck−1r−1​prqk−r,k=r,r+1,⋯(5)

二、连续型分布

首先需要知道的是，连续型随机变量取个别值的概率为$0$，即 P { ξ = c } = 0 P\{\xi=c\}=0 P{ξ=c}=0。在图型上，密度函数对各种分布的特征的显示要比分布函数优胜的多，因此它比分布函数更加常用。

2.1 均匀分布

若$a,b$为有限数，由下列密度函数定义的分布称为$[a,b]$上的均匀分布：$$p(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b\\ 0,& x<a或x>b\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
记作$U[a,b]$

2.2 正态分布

密度函数为$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<\infty \text{\hspace{1em}(7)}$$
其中，$\sigma >0$，$\mu$和$\sigma$均为常数，这种分布称为正态分布，简记为$N(\mu ,{\sigma }^2)$。特别的，当$\mu =0,\sigma =1$时，称为标准正态分布，记为$N(0,1)$，相应的密度函数和分布函数记为$\phi (x)$和$\Phi (x)$。

可以验证，如果随机变量$\xi$服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$，那么$\frac{\xi -\mu }{\sigma }$服从$N(0,1)$。而且 p { ∥ ξ − μ ∣ < σ } ≈ 68.27 % (8) p\{\|\xi-\mu|\lt\sigma\}\approx68.27\%\tag8 p{∥ξ−μ∣<σ}≈68.27%(8)
p { ∥ ξ − μ ∣ < 2 σ } ≈ 95.45 % (9) p\{\|\xi-\mu|\lt2\sigma\}\approx95.45\%\tag9 p{∥ξ−μ∣<2σ}≈95.45%(9)
p { ∥ ξ − μ ∣ < 3 σ } ≈ 99.73 % (10) p\{\|\xi-\mu|\lt3\sigma\}\approx99.73\%\tag{10} p{∥ξ−μ∣<3σ}≈99.73%(10)

2.3 指数分布

密度函数为$p(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$，分布函数为$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$，其中$\lambda >0$为参数，这分布称为指数分布，简记为$Exp(\lambda )$。常用它来作各种“寿命”分布的近似，例如电子元件的寿命，某些动物的寿命，电话问题中的通话时间等。
另外，与几何分布类似， p { ξ ≥ s + t ∣ ξ ≥ s } = P { ξ ≥ t } p\{\xi\ge s+t|\xi\ge s\}=P\{\xi\ge t\} p{ξ≥s+t∣ξ≥s}=P{ξ≥t}。