概率论复习笔记二——离散型分布和连续型分布

本文概述了离散型分布的伯努利、二项、泊松、几何及帕斯卡分布,以及连续型分布的均匀、正态和指数分布。重点介绍了每个分布的定义、概率公式和特性,如几何分布的无记忆性。

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一、离散型分布

1.1 伯努利分布

在一次试验中,事件AAA出现的概率为ppp,不出现的概率为q=1−pq=1-pq=1p,若以β\betaβ记事件AAA出现的次数,则β\betaβ0,10, 10,1两值,相应的概率分布为bk=P{β=k}=pkq1−k,k=0,1(1)b_k=P\{\beta=k\}=p^kq^{1-k}, k=0,1\tag1bk=P{β=k}=pkq1k,k=0,1(1)
这个分布称为伯努利分布,亦称为两点分布

1.2 二项分布

nnn重伯努利试验中,若以μ\muμ记作成功的次数,则它是一个随机变量,μ\muμ可能取的值为0,1,2⋯ ,n0,1,2\cdots,n0,1,2,n,其对应的概率分布为b(k;n,p)=P{μ=k}=Cnkpkqn−k,k=0,1,2⋯ ,n(2)b(k;n,p)=P\{\mu=k\}=C_n^kp^kq^{n-k}, k=0,1,2\cdots,n\tag2b(k;n,p)=P{μ=k}=Cnkpkqnk,k=0,1,2,n(2)
简记为μ∼B(n,p)\mu\sim B(n,p)μB(n,p)

1.3泊松分布

若随机变量ξ\xiξ可取一切非负整数值,且p{ξ=k}=λkk!e−λ,k=0,1,2⋯(3)p\{\xi=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k=0,1,2\cdots\tag3p{ξ=k}=k!λkeλ,k=0,1,2(3)
其中,λ>0\lambda\gt0λ>0,则称ξ\xiξ服从泊松分布,简记为ξ∼P(λ)\xi\sim P(\lambda)ξP(λ)

1.4 几何分布

在成功概率为ppp的伯努利试验中,若以η\etaη记成功首次出现时的试验次数,则η\etaη为随机变量,它可能取的值为1,2,3⋯1,2,3\cdots1,2,3,其概率分布为g(k,p)=P{η=k}=qk−1p,k=1,2,⋯(4)g(k,p)=P\{\eta=k\}=q^{k-1}p, k=1, 2, \cdots\tag4g(k,p)=P{η=k}=qk1p,k=1,2,(4)
简记为η∼g(k,p)\eta\sim g(k,p)ηg(k,p)

几何分布有一个重要的性质——无记忆性
假定已知在前mmm次试验中没有出现成功,那么为了达到首次成功还需要再等待的次数为η′\eta^{'}η,其概率分布为P{η′=k}=P{η=m+k∣η>m}=P{η=m+k}P{η>m}=qm+k−1pqm=qk−1p,k=1,2,⋯P\{\eta^{'}=k\}=P\{\eta=m+k|\eta\gt m\}=\frac{P\{\eta=m+k\}}{P\{\eta\gt m\}}=\frac{q^{m+k-1}p}{q^m}=q^{k-1}p, k=1,2,\cdotsP{η=k}=P{η=m+kη>m}=P{η>m}P{η=m+k}=qmqm+k1p=qk1p,k=1,2,
可见,η′\eta^{'}η的分布还是几何分布,即为了达到首次成功还需要再等待的次数与前面的失败次数无关。

1.5 帕斯卡分布

在成功概率为ppp的伯努利试验中,若以ζ\zetaζ记第rrr次成功出现时的试验次数,则ζ\zetaζ是随机变量,取值r,r+1,⋯r, r+1, \cdotsr,r+1,,其概率分布为帕斯卡分布:P{ζ=k}=Ck−1r−1prqk−r,k=r,r+1,⋯(5)P\{\zeta=k\}=C_{k-1}^{r-1}p^{r}q^{k-r},k=r,r+1,\cdots\tag 5P{ζ=k}=Ck1r1prqkr,k=r,r+1,(5)

二、连续型分布

首先需要知道的是,连续型随机变量取个别值的概率为000,即P{ξ=c}=0P\{\xi=c\}=0P{ξ=c}=0。在图型上,密度函数对各种分布的特征的显示要比分布函数优胜的多,因此它比分布函数更加常用。

2.1 均匀分布

a,ba, ba,b为有限数,由下列密度函数定义的分布称为[a,b][a,b][a,b]上的均匀分布p(x)={1b−a,a≤x≤b0,x<a或x>b(6)p(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}, &a\le x \le b\\ 0, &x\lt a或x\gt b \end{cases}\tag6p(x)={ba1,0,axbx<ax>b(6)
记作U[a,b]U[a,b]U[a,b]

2.2 正态分布

密度函数为p(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,−∞<x<∞(7)p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, -\infty\lt x\lt \infty\tag7p(x)=2πσ1e2σ2(xμ)2,<x<(7)
其中,σ>0\sigma\gt0σ>0μ\muμσ\sigmaσ均为常数,这种分布称为正态分布,简记为N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)N(μ,σ2)。特别的,当μ=0,σ=1\mu=0, \sigma=1μ=0,σ=1时,称为标准正态分布,记为N(0,1)N(0,1)N(0,1),相应的密度函数和分布函数记为φ(x)\varphi(x)φ(x)Φ(x)\Phi(x)Φ(x)

可以验证,如果随机变量ξ\xiξ服从正态分布N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)N(μ,σ2),那么ξ−μσ\frac{\xi-\mu}{\sigma}σξμ服从N(0,1)N(0,1)N(0,1)。而且p{∥ξ−μ∣<σ}≈68.27%(8)p\{\|\xi-\mu|\lt\sigma\}\approx68.27\%\tag8p{ξμ<σ}68.27%(8)
p{∥ξ−μ∣<2σ}≈95.45%(9)p\{\|\xi-\mu|\lt2\sigma\}\approx95.45\%\tag9p{ξμ<2σ}95.45%(9)
p{∥ξ−μ∣<3σ}≈99.73%(10)p\{\|\xi-\mu|\lt3\sigma\}\approx99.73\%\tag{10}p{ξμ<3σ}99.73%(10)

2.3 指数分布

密度函数为p(x)={λe−λx,x≥00,x<0p(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, &x\ge0\\ 0, &x\lt0 \end{cases}p(x)={λeλx,0,x0x<0,分布函数为F(x)={1−e−λx,x≥00,x<0F(x)=\begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, &x\ge0\\ 0, &x\lt0 \end{cases}F(x)={1eλx,0,x0x<0,其中λ>0\lambda\gt0λ>0为参数,这分布称为指数分布,简记为Exp(λ)Exp(\lambda)Exp(λ)。常用它来作各种“寿命”分布的近似,例如电子元件的寿命,某些动物的寿命,电话问题中的通话时间等。
另外,与几何分布类似,p{ξ≥s+t∣ξ≥s}=P{ξ≥t}p\{\xi\ge s+t|\xi\ge s\}=P\{\xi\ge t\}p{ξs+tξs}=P{ξt}

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