概率论复习笔记三——随机向量，随机变量的独立性

一、随机向量及其分布

1.1 联合分布

称$n$元函数F(x1,x2,⋯ ,xn)=P{ξ1(ω)<x1,ξ2(ω)<x2,⋯ ,ξn(ω)<xn}(1)F(x_1, x_2, \cdots, x_n)=P\{\xi_1(\omega)\lt x_1, \xi_2(\omega)\lt x_2, \cdots, \xi_n(\omega)\lt x_n\}\tag1F(x1​,x2​,⋯,xn​)=P{ξ1​(ω)<x1​,ξ2​(ω)<x2​,⋯,ξn​(ω)<xn​}(1)为随机向量$\mathbf{\xi }(\omega )=({\xi }_1(\omega ),{\xi }_2(\omega ),\cdots ,{\xi }_n(\omega ))$的（联合）分布函数。

1.2 边际分布

若$(\xi ,\eta )$是二维随机向量，其分布函数为$F(x,y)$，我们能由$F(x,y)$得出$\xi$或$\eta$的分布函数。事实上，F1(x)=P{ξ<x}=P{ξ<x,η<+∞}=F(x,+∞)F_1(x)=P\{\xi\lt x\}=P\{\xi\lt x, \eta\lt+\infty\}=F(x,+\infty)F1​(x)=P{ξ<x}=P{ξ<x,η<+∞}=F(x,+∞)，同理F2(y)=P{η<y}=F(+∞,y)F_2(y)=P\{\eta\lt y\}=F(+\infty, y)F2​(y)=P{η<y}=F(+∞,y)。称$F_1(x)$及$F_2(y)$为$F(x,y)$的边际分布函数。

对于边际分布函数$F_1(x)$，其密度函数为$$p_1(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)dy\text{\hspace{1em}(2)}$$
对于边际分布函数$F_2(y)$，其密度函数为$$p_2(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)dx\text{\hspace{1em}(3)}$$

1.3 条件分布

对于随机向量$(\xi ,\eta )$，在给定$\xi =x$的条件下，$\eta$的分布密度函数为$$p(y|x)=\frac{p(x,y)}{p_1(x)}\text{\hspace{1em}(4)}$$
同理在给定$\eta =y$的条件下，$\xi$的分布密度函数为$$p(x|y)=\frac{p(x,y)}{p_2(y)}\text{\hspace{1em}(5)}$$

1.4 独立性

$\xi$和$\eta$是独立的，当且仅当$$p(x,y)=p_1(x)p_2(y)\text{\hspace{1em}(6)}$$
等价于$$\begin{gathered} p(y|x)=p_2(y) \\ p(x|y)=p_1(x)\text{\hspace{1em}(7)} \end{gathered}$$