概率论复习笔记一——伯努利实验及相关的概率分布

本文详细介绍了伯努利概型,包括单次伯努利试验的概率定义、多次伯努利试验的二项分布、几何分布、帕斯卡分布以及泊松分布。在讨论中,提到了这些分布的数学公式及其在实际问题中的应用,如机票超售问题,强调了独立事件假设的重要性,并展示了在试验次数趋于无穷大、概率趋于零但乘积保持常数时,二项分布趋近于泊松分布的推导过程。

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一、伯努利概型

在许多问题中,我们对试验感兴趣的是试验中某事件AAA是否发生。在这类问题中,我们可以把事件域取为F={∅,A,Aˉ,Ω}\mathcal F=\{\emptyset, A, \bar A, \Omega\}F={,A,Aˉ,Ω},这种只有两个可能结果的试验称为伯努利试验


在伯努利试验中,首先要给出下面概率:P(A)=p,P(Aˉ)=q(1)P(A)=p, P(\bar A)=q\tag1P(A)=p,P(Aˉ)=q(1)
其中,p≥0,q≥0,p+q=1p\ge0, q\ge0, p+q=1p0,q0,p+q=1


现在考虑重复进行nnn次独立的伯努利试验,这里的重复是指每次试验中事件AAA出现的概率都不变,这样的试验称为nnn重伯努利试验,记作EnE^nEn。它有以下4个约定:

  1. 每次试验至多出现两个可能结果之一:AAAAˉ\bar AAˉ
  2. AAA在每次试验中出现的概率ppp保持不变
  3. 各次试验相互独立
  4. 共进行nnn次试验



nnn重伯努利试验EnE^nEn的样本点形如:(A1^,A2^,⋯ ,An^)(\hat {A_1}, \hat {A_2}, \cdots, \hat {A_n})(A1^,A2^,,An^),其中Ai^\hat {A_i}Ai^AiA_iAiAiˉ\bar{A_i}Aiˉ,分别表示第iii次试验中出现AAAAˉ\bar AAˉ,显然这种样本点共有2n2^n2n个,这是一个有限的样本空间。假设nnn次试验中出现lll次事件AAA,那么会有n−ln-lnl次事件Aˉ\bar AAˉ,从而可以得到相应的概率为:P(A1^,A2^,⋯ ,An^)=plqn−l(2)P(\hat {A_1}, \hat {A_2}, \cdots, \hat {A_n})=p^lq^{n-l}\tag2P(A1^,A2^,,An^)=plqnl(2)


以伯努利试验为模型探讨机票超售问题。每个订座旅客当作一次试验,则他不登机记作事件AAA,登机记作事件Aˉ\bar AAˉP(A)P(A)P(A)可以由过去统计资料得出。主要的难点在于能否把旅客是否登机看作是独立的,显然对于购买团体票的旅客作此假定是不适合的。此外,大型的交通堵塞等偶然事件也会使这个假定偏离,不过在一般场合作此假定还是合理的。那么全体订座旅客数nnn作为试验总数,这便构成伯努利概型

二、伯努利概型中的一些分布

2.1 伯努利分布

若只进行一次试验,或者事件AAA出现,或者不出现,其概率由(1)(1)(1)式给出,称为伯努利分布

2.2 二项分布

假设进行了nnn重伯努利试验,以b(k;n,p)b(k;n,p)b(k;n,p)记作事件AAA出现kkk次的概率,很容易可以计算得到:b(k;n,p)=Cnkpkqn−k,k=0,1,2⋯ ,n(3)b(k;n,p)=C_n^kp^kq^{n-k}, k=0,1,2\cdots,n\tag3b(k;n,p)=Cnkpkqnk,k=0,1,2,n(3)
注意到b(k;n,p),k=0,1,2⋯ ,nb(k;n,p), k=0,1,2\cdots,nb(k;n,p),k=0,1,2,n是二项式(q+ps)n(q+ps)^n(q+ps)n展开式中sks^ksk项的系数,所以(3)(3)(3)被称为二项分布

2.3 几何分布

假设进行了nnn重伯努利试验,以g(k;p)g(k;p)g(k;p)记作事件AAA首次出现在第kkk次试验的概率,那么前k−1k-1k1次都出现事件Aˉ\bar AAˉ,所以g(k;p)=qk−1p,k=1,2,⋯ ,n(4)g(k;p)=q^{k-1}p, k=1, 2, \cdots, n\tag4g(k;p)=qk1p,k=1,2,,n(4)
g(k;p)g(k;p)g(k;p)是几何级数的一般项,所以(4)(4)(4)称为几何分布

2.3 帕斯卡分布

假设进行了nnn重伯努利试验,以f(k;r,p)f(k;r,p)f(k;r,p)记作第rrr次成功出现在第kkk次试验,则必有k≥rk\ge rkr,很容易计算得:f(k;r,p)=Ck−1r−1pr−1qk−rp=Ck−1r−1prqk−r(5)f(k;r,p)=C_{k-1}^{r-1}p^{r-1}q^{k-r}p=C_{k-1}^{r-1}p^{r}q^{k-r}\tag 5f(k;r,p)=Ck1r1pr1qkrp=Ck1r1prqkr(5)
f(k;r,p)f(k;r,p)f(k;r,p)成为帕斯卡分布,特别当r=1r=1r=1时,我们得到几何分布。

2.4 多项分布

二项分布可以很容易的推广到nnn次重复独立试验且每次试验可能有若干个结果的情形。把每次试验的可能结果记为A1,A2,⋯ ,ArA_1, A_2, \cdots, A_rA1,A2,,ArP(Ai)=pi,i=1,2,⋯ ,rP(A_i)=p_i, i=1, 2, \cdots, rP(Ai)=pi,i=1,2,,r,且p1+p2+⋯+pr=1,pi≥0p_1+p_2+\cdots+p_r=1, p_i\ge0p1+p2++pr=1,pi0,当r=2r=2r=2时,就是伯努利试验。


在这种推广的伯努利试验中,我们不难得出在nnn次试验中,A1A_1A1出现k1k_1k1次,A2A_2A2出现k2k_2k2次,ArA_rAr出现krk_rkr次的概率为:n!k1!k2!⋯kr!p1k1p2k2⋯prkr(6)\frac{n!}{k_1! k_2!\cdots k_r!}p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}\tag6k1!k2!kr!n!p1k1p2k2prkr(6)
(6)(6)(6)式称为多项分布

2.5 泊松分布

在伯努利试验中,nnn很大,ppp很小,但λ=np\lambda=npλ=np大小适中。在独立试验中,以pnp_npn代表事件AAA在试验中出现的概率,它与试验总数nnn有关,如果npn⟶λnp_n\longrightarrow\lambdanpnλ,则当n⟶∞n\longrightarrow \inftyn时,b(k;n,p)⟶λkk!e−λ(7)b(k;n,p)\longrightarrow\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\tag7b(k;n,p)k!λkeλ(7)

证明
λn=npn\lambda_n=np_nλn=npn,则b(k;n,pn)=Cnkpnk(1−pn)n−k=n(n−1)⋯(n−k+1)k!(λnn)k(1−λnn)n−k=λnkk!(1−1n)(1−2n)⋯(1−k−1n)(1−λn)n−kb(k;n,p_n)=C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}(\frac{\lambda_n}{n})^k(1-\frac{\lambda_n}{n})^{n-k}=\frac{\lambda_n^k}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}b(k;n,pn)=Cnkpnk(1pn)nk=k!n(n1)(nk+1)(nλn)k(1nλn)nk=k!λnk(1n1)(1n2)(1nk1)(1nλ)nk

而对于固定的kkkn⟶∞n\longrightarrow \inftyn时,lim⁡n⟶∞λnk=λk\lim\limits_{n\longrightarrow \infty}\lambda_n^k=\lambda^knlimλnk=λklim⁡n⟶∞(1−λn)n−k=e−λ\lim\limits_{n\longrightarrow \infty}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}=e^{-\lambda}nlim(1nλ)nk=eλlim⁡n⟶∞(1−1n)(1−2n)⋯(1−k−1n)=1\lim\limits_{n\longrightarrow \infty}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})=1nlim(1n1)(1n2)(1nk1)=1

所以有b(k;n,p)⟶λkk!e−λb(k;n,p)\longrightarrow\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}b(k;n,p)k!λkeλ

p(k;λ)=λkk!e−λ,k=0,1,2⋯(8)p(k;\lambda)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k=0,1,2\cdots\tag8p(k;λ)=k!λkeλ,k=0,1,2(8)
(8)(8)(8)式称为泊松分布λ\lambdaλ称为它的参数。
注意到∑k=0∞p(k;λ)=1\sum\limits_{k=0}^\infty p(k;\lambda)=1k=0p(k;λ)=1

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