概率论复习笔记一——伯努利实验及相关的概率分布

最新推荐文章于 2023-09-22 11:52:09 发布

米法·

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分类专栏：概率论与数理统计文章标签：概率论统计学

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本文详细介绍了伯努利概型，包括单次伯努利试验的概率定义、多次伯努利试验的二项分布、几何分布、帕斯卡分布以及泊松分布。在讨论中，提到了这些分布的数学公式及其在实际问题中的应用，如机票超售问题，强调了独立事件假设的重要性，并展示了在试验次数趋于无穷大、概率趋于零但乘积保持常数时，二项分布趋近于泊松分布的推导过程。

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一、伯努利概型

在许多问题中，我们对试验感兴趣的是试验中某事件 $A$ 是否发生。在这类问题中，我们可以把事件域取为 $F={∅,A,Aˉ,Ω}\mathcal F=\{\emptyset, A, \bar A, \Omega\}$ ，这种只有两个可能结果的试验称为伯努利试验。

在伯努利试验中，首先要给出下面概率： $P(\bar A)=q\tag1$
其中， $p≥0,q≥0,p+q=1p\ge0, q\ge0, p+q=1$

现在考虑重复进行 $n$ 次独立的伯努利试验，这里的重复是指每次试验中事件 $A$ 出现的概率都不变，这样的试验称为 $n$ 重伯努利试验，记作 $E^n$ 。它有以下4个约定：

每次试验至多出现两个可能结果之一： $A$ 和 $Aˉ\bar A$
$A$ 在每次试验中出现的概率 $p$ 保持不变
各次试验相互独立
共进行 $n$ 次试验

$n$ 重伯努利试验 $E^n$ 的样本点形如： $(A1^,A2^,⋯ ,An^)(\hat {A_1}, \hat {A_2}, \cdots, \hat {A_n})$ ，其中 $Ai^\hat {A_i}$ 是 $A_i$ 或 $Aiˉ\bar{A_i}$ ，分别表示第 $i$ 次试验中出现 $A$ 或 $Aˉ\bar A$ ，显然这种样本点共有 $2^n$ 个，这是一个有限的样本空间。假设 $n$ 次试验中出现 $l$ 次事件 $A$ ，那么会有 $n - l$ 次事件 $Aˉ\bar A$ ，从而可以得到相应的概率为： $P(A1^,A2^,⋯ ,An^)=plqn−l(2)P(\hat {A_1}, \hat {A_2}, \cdots, \hat {A_n})=p^lq^{n-l}\tag2$

以伯努利试验为模型探讨机票超售问题。每个订座旅客当作一次试验，则他不登机记作事件 $A$ ，登机记作事件 $Aˉ\bar A$ ， $P (A)$ 可以由过去统计资料得出。主要的难点在于能否把旅客是否登机看作是独立的，显然对于购买团体票的旅客作此假定是不适合的。此外，大型的交通堵塞等偶然事件也会使这个假定偏离，不过在一般场合作此假定还是合理的。那么全体订座旅客数 $n$ 作为试验总数，这便构成伯努利概型。

二、伯努利概型中的一些分布

2.1 伯努利分布

若只进行一次试验，或者事件 $A$ 出现，或者不出现，其概率由 $(1)$ 式给出，称为伯努利分布。

2.2 二项分布

假设进行了 $n$ 重伯努利试验，以 $b (k; n, p)$ 记作事件 $A$ 出现 $k$ 次的概率，很容易可以计算得到： $,n(3)b(k;n,p)=C_n^kp^kq^{n-k}, k=0,1,2\cdots,n\tag3$
注意到 $k=0,1,2\cdots,n$ 是二项式 $q+ps)^n$ 展开式中 $s^k$ 项的系数，所以 $(3)$ 被称为二项分布。

2.3 几何分布

假设进行了 $n$ 重伯努利试验，以 $g (k; p)$ 记作事件 $A$ 首次出现在第 $k$ 次试验的概率，那么前 $k - 1$ 次都出现事件 $Aˉ\bar A$ ，所以 $,n(4)g(k;p)=q^{k-1}p, k=1, 2, \cdots, n\tag4$
$g (k; p)$ 是几何级数的一般项，所以 $(4)$ 称为几何分布。

2.3 帕斯卡分布

假设进行了 $n$ 重伯努利试验，以 $f (k; r, p)$ 记作第 $r$ 次成功出现在第 $k$ 次试验，则必有 $k≥rk\ge r$ ，很容易计算得： $f(k;r,p)=Ck−1r−1pr−1qk−rp=Ck−1r−1prqk−r(5)f(k;r,p)=C_{k-1}^{r-1}p^{r-1}q^{k-r}p=C_{k-1}^{r-1}p^{r}q^{k-r}\tag 5$
$f (k; r, p)$ 成为帕斯卡分布，特别当 $r = 1$ 时，我们得到几何分布。

2.4 多项分布

二项分布可以很容易的推广到 $n$ 次重复独立试验且每次试验可能有若干个结果的情形。把每次试验的可能结果记为 $,ArA_1, A_2, \cdots, A_r$ ， $,rP(A_i)=p_i, i=1, 2, \cdots, r$ ，且 $p1+p2+⋯+pr=1,pi≥0p_1+p_2+\cdots+p_r=1, p_i\ge0$ ，当 $r = 2$ 时，就是伯努利试验。

在这种推广的伯努利试验中，我们不难得出在 $n$ 次试验中， $A_1$ 出现 $k_1$ 次， $A_2$ 出现 $k_2$ 次， $A_r$ 出现 $k_r$ 次的概率为： $n!k1!k2!⋯kr!p1k1p2k2⋯prkr(6)\frac{n!}{k_1! k_2!\cdots k_r!}p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}\tag6$
$(6)$ 式称为多项分布。

2.5 泊松分布

在伯努利试验中， $n$ 很大， $p$ 很小，但 $λ=np\lambda=np$ 大小适中。在独立试验中，以 $p_n$ 代表事件 $A$ 在试验中出现的概率，它与试验总数 $n$ 有关，如果 $npn⟶λnp_n\longrightarrow\lambda$ ，则当 $n⟶∞n\longrightarrow \infty$ 时， $b(k;n,p)⟶λkk!e−λ(7)b(k;n,p)\longrightarrow\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\tag7$

证明：
记 $λn=npn\lambda_n=np_n$ ，则 $b(k;n,pn)=Cnkpnk(1−pn)n−k=n(n−1)⋯(n−k+1)k!(λnn)k(1−λnn)n−k=λnkk!(1−1n)(1−2n)⋯(1−k−1n)(1−λn)n−kb(k;n,p_n)=C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}(\frac{\lambda_n}{n})^k(1-\frac{\lambda_n}{n})^{n-k}=\frac{\lambda_n^k}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}$

而对于固定的 $k$ ， $n⟶∞n\longrightarrow \infty$ 时， $lim⁡n⟶∞λnk=λk\lim\limits_{n\longrightarrow \infty}\lambda_n^k=\lambda^k$ ， $lim⁡n⟶∞(1−λn)n−k=e−λ\lim\limits_{n\longrightarrow \infty}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}=e^{-\lambda}$ ， $lim⁡n⟶∞(1−1n)(1−2n)⋯(1−k−1n)=1\lim\limits_{n\longrightarrow \infty}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})=1$

所以有 $b(k;n,p)⟶λkk!e−λb(k;n,p)\longrightarrow\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ 。

记 $p(k;λ)=λkk!e−λ,k=0,1,2⋯(8)p(k;\lambda)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k=0,1,2\cdots\tag8$
$(8)$ 式称为泊松分布， $λ\lambda$ 称为它的参数。
注意到 $∑k=0∞p(k;λ)=1\sum\limits_{k=0}^\infty p(k;\lambda)=1$ 。