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今天刷题的时候刷到一道好题，最后弄成了一个递推式，而且还收获了一个等式，就是长得有点像牛顿二项式的那种但是没有系数，竟然还阔以化成一坨(｀・ω・´)
A n + A n − 1 B + A n − 2 B 2 + . . . + A B n − 1 + B n = A n + 1 − B n + 1 A − B A^n+A^{n-1}B+A^{n-2}B^2+...+AB^{n-1}+B^n=\frac{A^{n+1}-B^{n+1}}{A-B} An+An−1B+An−2B2+...+ABn−1+Bn=A−BAn+1−Bn+1
正当我以为这是个很牛皮的发现的时候，别人说这就是等比数列，公比是 B A \frac{B}{A} AB，我一下就觉得自己太瓜了(｡･ω･｡)
原题是这样的：
这样就阔以编一道题了：
a
n
=
A
a
n
−
1
+
B
a
n
−
1
−
A
B
a
n
−
2
a_n=Aa_{n-1}+Ba_{n-1}-ABa_{n-2}
an=Aan−1+Ban−1−ABan−2
a
1
=
A
+
B
,
a
2
=
(
A
+
B
)
2
−
A
B
,
A
,
B
为
常
数
求
a
n
a_1=A+B,a_2=(A+B)^2-AB,A,B为常数求a_n
a1=A+B,a2=(A+B)2−AB,A,B为常数求an
解法：
化一哈，关键步骤：
a
n
−
A
a
n
−
1
=
B
(
a
n
−
1
−
B
a
n
−
2
)
=
B
n
−
2
(
a
2
−
a
1
)
=
B
n
a_n-Aa_{n-1}=B(a_{n-1}-Ba_{n-2})=B^{n-2}(a_2-a_1)=B^n
an−Aan−1=B(an−1−Ban−2)=Bn−2(a2−a1)=Bn
所以就变成了：
a
n
−
A
a
n
−
1
=
B
n
a_n-Aa_n-1=B^n
an−Aan−1=Bn
a
n
=
A
a
n
−
1
+
B
n
a_n=Aa_{n-1}+B^n
an=Aan−1+Bn
a
n
=
A
(
a
n
−
2
+
B
n
−
1
)
+
B
n
=
.
.
.
=
A
n
+
A
n
−
1
B
+
A
n
−
2
B
2
+
.
.
.
+
A
B
n
−
1
+
B
n
a_n=A(a_{n-2}+B^{n-1})+B^n=...=A^n+A^{n-1}B+A^{n-2}B^2+...+AB^{n-1}+B^n
an=A(an−2+Bn−1)+Bn=...=An+An−1B+An−2B2+...+ABn−1+Bn
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