一个递推式


今天刷题的时候刷到一道好题,最后弄成了一个递推式,而且还收获了一个等式,就是长得有点像牛顿二项式的那种但是没有系数,竟然还阔以化成一坨(`・ω・´)
A n + A n − 1 B + A n − 2 B 2 + . . . + A B n − 1 + B n = A n + 1 − B n + 1 A − B A^n+A^{n-1}B+A^{n-2}B^2+...+AB^{n-1}+B^n=\frac{A^{n+1}-B^{n+1}}{A-B} An+An1B+An2B2+...+ABn1+Bn=ABAn+1Bn+1
正当我以为这是个很牛皮的发现的时候,别人说这就是等比数列,公比是 B A \frac{B}{A} AB,我一下就觉得自己太瓜了(。・ω・。)

原题是这样的:
在这里插入图片描述

这样就阔以编一道题了:

a n = A a n − 1 + B a n − 1 − A B a n − 2 a_n=Aa_{n-1}+Ba_{n-1}-ABa_{n-2} an=Aan1+Ban1ABan2
a 1 = A + B , a 2 = ( A + B ) 2 − A B , A , B 为 常 数 求 a n a_1=A+B,a_2=(A+B)^2-AB,A,B为常数求a_n a1=A+B,a2=(A+B)2AB,A,Ban

解法:

化一哈,关键步骤:
a n − A a n − 1 = B ( a n − 1 − B a n − 2 ) = B n − 2 ( a 2 − a 1 ) = B n a_n-Aa_{n-1}=B(a_{n-1}-Ba_{n-2})=B^{n-2}(a_2-a_1)=B^n anAan1=B(an1Ban2)=Bn2(a2a1)=Bn
所以就变成了:
a n − A a n − 1 = B n a_n-Aa_n-1=B^n anAan1=Bn
a n = A a n − 1 + B n a_n=Aa_{n-1}+B^n an=Aan1+Bn
a n = A ( a n − 2 + B n − 1 ) + B n = . . . = A n + A n − 1 B + A n − 2 B 2 + . . . + A B n − 1 + B n a_n=A(a_{n-2}+B^{n-1})+B^n=...=A^n+A^{n-1}B+A^{n-2}B^2+...+AB^{n-1}+B^n an=A(an2+Bn1)+Bn=...=An+An1B+An2B2+...+ABn1+Bn

<think>题目要求:计算过z个月后成虫的数量。 已知条件: - 第一个月只有一对成虫。 - 每对成虫过x个月产y对卵(注意:卵长成成虫后的第一个月不产卵,即从成虫出生到第一次产卵需要x个月)。 - 每对卵要过两个月长成成虫(即卵在产下的那个月不算,从下个月开始算第一个月,第二个月结束时长成成虫)。 - 成虫不死。 我们需要计算第z个月末的成虫对数。 分析: 设第n个月的成虫数量为A(n),卵的数量为B(n)(注意:卵在产下后需要两个月才能变成成虫,且新成虫在变成成虫的第一个月不产卵,即它们需要等到成为成虫后的第x个月才开始产卵)。 但是,注意题目中“过x个月产卵”的意思是:成虫在出生后的第x+1个月开始产卵(因为出生后的第一个月不产卵,然后过x个月,即第x+1个月)。然而,题目描述是“过x个月产卵”,并且“卵长成成虫后的第一个月不产卵”,所以我们可以理解为: - 一对成虫在它出生后的第1个月(即成为成虫的第一个月)不产卵,然后从出生后的第x+1个月开始,每个月都产卵?还是每x个月产一次卵?题目没有明确说明是每个月都产卵还是每x个月产一次卵。根据问题描述:“每对成虫过x个月产y对卵”,通常理解是每对成虫在成熟后(过了第一个月)每隔x个月产一次卵(即每x个月产一次卵),但这里的问题描述可能是指从成虫出生后,需要等待x个月才开始产卵,然后每个月都产卵?还是产一次卵?再次阅读题目:“每对成虫过x个月产y对卵”,没有说产卵的频率。根据类似问题(如斐波那契数列变种)的经验,通常是指成虫在成熟后每个月都产卵,但这里有一个延迟x个月。然而,题目又提到“卵长成成虫后的第一个月不产卵”,说明成虫在变成成虫的第一个月是不产卵的,然后过x个月才开始产卵。这里有两种可能: 1)从成虫出生的第x+1个月开始,每个月都产卵。 2)每x个月产一次卵(周期为x个月)。 但是,题目没有明确说明是周期性产卵还是一次性产卵。然而,从问题描述来看,应该是周期性产卵,即每过x个月就会产一次卵。但是,注意题目说“每对成虫过x个月产y对卵”,这个描述可能是指成虫在成熟后(即过了第一个月)每隔x个月产一次卵。然而,题目没有明确周期,所以我们需要按照题目的字面意思:在成虫成熟后的第x+1个月产一次y对卵,然后可能再等待x个月再产卵?但是题目没有说,所以这里我们假设:每对成虫在它出生后的第x+1个月(即成为成虫后的第x+1个月)开始,每个月都产卵?还是每x个月产一次卵?这并不明确。 重新审视题目:“过x个月产卵”,并且“卵长成成虫后的第一个月不产卵(过x个月产卵)”。这里括号里的内容可能是对前面的补充,即成虫在变成成虫后,要过x个月才开始产卵,并且产卵后可能每个月都产?还是之后每x个月产一次?题目没有说。但是,根据类似经典问题(如蚕的繁殖),通常是指成虫在成熟后每个月都产卵,但本题有延迟x个月。然而,题目中明确说了“过x个月产卵”,而且没有说周期,所以这里我们理解为:每对成虫在它出生后的第x+1个月开始,每个月都产卵?但是这样就会导致繁殖速度非常快,而且题目说“繁殖能力很强”,所以可能是这样。 但是,我们再看一个例子:假设x=1, y=1。那么按照理解,成虫在出生后的第2个月(即成为成虫后的第二个月)开始产卵(因为第一个月不产卵,过1个月,即第二个月产卵)。那么: 第1个月:1对成虫,0对卵。 第2个月:成虫还是1对(不死),并且产卵y=1对卵(因为过1个月,此时成虫已经存在了2个月,满足条件?注意:第1个月成虫已经存在,第2个月它已经过了一个月,所以过x=1个月,所以在第2个月产卵1对)。此时,成虫1对,卵1对。 第3个月:第2个月产下的卵经过2个月长成成虫?注意:卵在第2个月产下,那么第3个月是卵的第一个月(还没成熟),第4个月才成熟。所以第3个月,成虫还是1对(因为第2个月的卵还没成熟),然后第3个月成虫又产卵1对(因为成虫每个月都产卵?)。那么第3个月成虫1对,卵2对(第2个月1对,第3个月1对)。 第4个月:第2个月产下的卵在第4个月变成了成虫(因为第2个月产下,经过两个月:第3个月(第一月)、第4个月(第二月)结束时长成成虫,所以在第4个月初,卵变成成虫?但是通常我们计算月末的数量)。所以第4个月初,第2个月产的卵变成了成虫,因此成虫数量变为1(原来的成虫)+1(新成虫)=2对。同时,第3个月产的卵在第4个月还是卵(需要等到第5个月才变成成虫),并且第4个月两只成虫都产卵(因为每只成虫都满足:它们分别在第1个月和第3个月出生?不对,第一只成虫是第1个月就存在的,第二只是第2个月产卵第4个月变成的。第一只成虫在第2、3、4个月都产卵(因为x=1,所以从第2个月开始每个月都产卵),第二只成虫在第4个月是它变成成虫的第一个月,所以不产卵(题目规定:卵长成成虫后的第一个月不产卵)。所以第4个月产卵的只有第一只成虫,产卵1对(因为y=1,每对产1对)。那么第4个月末,卵的数量是:第3个月的2对中,第3个月产的卵在第4个月还是卵(但已经过了一个月,所以下个月变成成虫),第4个月新产1对卵。所以卵有:第3个月产的1对(在第4个月末已经过了一个月,我们记为第3个月产的卵到第4个月末已经一个月了,第5个月会变成成虫)和第4个月产的1对(刚产下)。所以第4个月末卵有2对。成虫2对。 但是,题目要求:过z个月后成虫多少对。按照上面的计算,第4个月成虫是2对。 然而,我们参考经典兔子问题(斐波那契数列): 通常:第一个月1对,第二个月1对,第三个月2对,第四个月3对。 但是这里我们计算第4个月是2对,显然不同。因为经典兔子是:出生后两个月成熟,然后每个月生一对。而这里我们设定x=1(即出生后第二个月开始产卵),但是注意,经典兔子是出生后第三个月产卵(即两个月成熟,第三个月产卵),对应x=2(因为出生后过2个月产卵,注意出生后第一个月不产卵,过2个月即第三个月产卵)。 所以,如果x=2, y=1,那么: 第1个月:1对成虫,0对卵。 第2个月:成虫1对(不产卵,因为成虫的第一个月不产卵,而且过2个月,所以第2个月不产卵)。 第3个月:成虫1对,这时候它已经过了2个月(从第1个月开始,到第3个月是第三个月,所以它已经过了2个月?实际上,从它出生(第1个月)开始算,第1个月是它的第一个月(不产卵),第2个月是第二个月(不产卵),第3个月是第三个月,此时它已经过了2个月(即第1个月和第2个月),所以在第3个月产卵1对。所以第3个月末:成虫1对,卵1对。 第4个月:卵经过两个月长成成虫?第3个月产的卵,在第4个月末才长了一个月,所以还是卵。同时,第4个月,原来的成虫又产卵1对(因为x=2,所以每过2个月产一次?还是每个月都产?题目没有明确周期,但按照“每对成虫过x个月产y对卵”,这个描述可能是指每x个月产一次卵,还是指在满足条件后每个月都产卵?这里我们之前假设是每个月都产卵,但是题目并没有说每个月都产卵,而是说“过x个月产y对卵”,这个描述可以理解为:在成虫成熟后(过了第一个月)再等待x个月,然后产卵,然后可能再等待x个月再产卵?即每x个月产一次卵。所以,如果这样,那么第4个月不产卵(因为第3个月已经产了,下一次产卵在第5个月)。那么第4个月末:成虫1对,卵1对(第3个月产的卵还在,第4个月没有新卵)。 第5个月:第3个月产的卵在第5个月变成成虫(因为第3个月产卵,第4个月是第一个月,第5个月是第二个月,所以变成成虫)。所以第5个月成虫变为2对。同时,第5个月,原来的成虫又产卵(因为距离上次产卵(第3个月)已经过了2个月(第4个月和第5个月),所以第5个月产卵1对。另外,新成虫(第5个月刚变成的)在第一个月不产卵。所以第5个月产卵1对。第5个月末:成虫2对,卵1对。 所以,第5个月成虫2对,与经典斐波那契数列(第5个月是5对)不同。因此,题目中的繁殖规律与斐波那契数列不同。 重新理解题目:“每对成虫过x个月产y对卵”,这里“过x个月”是指成虫从出生开始,经过x个月后开始产卵,并且之后每个月都产卵?还是每x个月产一次卵?题目没有明确。但是,根据题目的问题描述,以及类似问题(如NOI昆虫繁殖问题)的惯例,通常是指:成虫在出生后的第x+1个月开始,每个月都产卵,直到永远(因为成虫不死)。所以,我们按照这种理解:成虫在出生后的第1个月(即成为成虫的第一个月)不产卵,从第2个月开始算,过x-1个月?不对,应该是:从成虫出生的那个月算起,第1个月不产卵,然后等待x个月,即从第x+1个月开始,每个月都产卵。也就是说,成虫在出生后的前x个月(包括第一个月)都不产卵,从第x+1个月开始,每个月都产y对卵。 因此,对于任意一对成虫,它在出生后的第1个月到第x个月都不产卵,从第x+1个月开始,每个月都产卵。 另外,卵的成长:卵在产下的那个月不算,从下个月开始算,经过两个月(即两个月后)变成成虫。例如,第n个月产下的卵,会在第n+2个月变成成虫(在第n+2个月初变成成虫,那么在第n+2个月末,我们就认为它已经变成成虫了,并且这个月是它作为成虫的第一个月,所以这个月它不产卵)。 所以,我们定义: A(n):第n个月末的成虫对数。 B(n):第n个月末的卵的对数。 注意:卵在第n个月末存在,那么在第n+1个月末,这些卵就会变成“一个月大的卵”,然后在第n+2个月末变成成虫(即变成成虫的时间是第n+2个月末)。所以,第n个月末的卵会在第n+2个月末变成成虫(即第n+2个月初变成成虫,我们以月末统计,所以第n+2个月末它们已经是成虫了)。 递推关系: 1. 第n个月末的成虫数量A(n)由两部分组成: - 上个月存活的成虫:因为成虫不死,所以上个月的所有成虫这个月还在,即A(n-1)。 - 这个月新变成的成虫:这些成虫是由两个月前(即第n-2个月)的卵转化而来的。因为第n-2个月末的卵,经过第n-1个月(第一个月)和第n个月(第二个月),在第n个月末变成成虫。所以新增的成虫数量就是第n-2个月末的卵的数量,即B(n-2)(注意:这里我们假设B(n)表示第n个月末的卵的数量,所以B(n-2)就是第n-2个月末的卵,这些卵在第n个月末变成了成虫)。 因此:A(n) = A(n-1) + B(n-2) (n>=3) 2. 第n个月末的卵的数量B(n)由这个月新产的卵决定(因为上个月的卵在这个月要么变成一个月大的卵(但我们不记录中间状态),要么已经变成成虫(两个月到期)了,所以我们不需要记录上个月的卵,因为卵的成长周期是固定的,我们只关心新产的卵)。而新产的卵来自这个月产卵的成虫。 那么,这个月产卵的成虫是哪些?根据前面的分析,成虫从出生后的第x+1个月开始每个月都产卵。所以,对于第n个月,产卵的成虫必须是已经出生至少x+1个月的成虫(即在第n-x个月或更早变成成虫的成虫)。注意:成虫出生后的第一个月(即它变成成虫的那个月)不产卵,然后从第x+1个月开始产卵(即它变成成虫后的第x+1个月,也就是它出生的第x+1个月,实际上就是它变成成虫后的第x个月后,因为变成成虫的那个月是第一个月,所以第x+1个月就是它变成成虫后的第x个月)。所以,产卵的条件是:成虫的年龄至少为x+1个月(以成虫的生存月数计算,从它变成成虫的那个月开始算第一个月)。 但是,我们如何统计这些成虫?我们可以这样考虑:在第n个月产卵的成虫,它们必须是在第n-x个月或更早变成成虫的。因为如果它们在第n-x个月变成成虫,那么它们在第n-x个月(第一个月)不产卵,第n-x+1个月(第二个月)也不产卵,...,直到第n个月,它们已经存在了x+1个月(即从第n-x个月到第n个月,共x+1个月),所以它们在第n个月产卵(因为从第n-x个月到第n个月,已经过了x个月,所以第n个月是它们产卵的第一个月?不对,应该是从它们变成成虫后的第x+1个月开始产卵,而第n个月是它们变成成虫后的第x+1个月(因为从第n-x个月到第n个月,一共x+1个月,所以第n-x个月是它们变成成虫的第一个月,那么第n个月就是它们变成成虫后的第x+1个月)。所以,在第n个月产卵的成虫,就是第n-x个月及之前变成成虫的成虫(因为更晚变成成虫的还没有到产卵的时间)。 因此,第n个月产卵的成虫数量 = 第n-x个月末的成虫数量(因为第n-x个月末的成虫包括第n-x个月及之前的所有成虫,并且这些成虫在第n个月都满足产卵条件)?不对,因为第n-x个月末的成虫数量包括所有在第n-x个月及之前变成成虫的成虫,这些成虫在第n个月时都已经存活了至少x个月(因为从第n-x个月到第n个月,有x个月,所以它们在第n个月时已经经历了x个月,那么第n个月就是它们产卵的开始月份)。 但是,注意:我们之前没有记录每个月新增的成虫,而是记录总的成虫数量。实际上,第n-x个月末的成虫数量A(n-x)就表示在第n-x个月及之前变成成虫的成虫总数(因为成虫不死)。所以,这些成虫在第n个月都会产卵。因此,第n个月新产的卵数量 = A(n-x) * y。 因此:B(n) = A(n-x) * y (注意:这里n>=x+1,因为当n<=x时,没有成虫满足产卵条件,所以B(n)=0) 但是,这里有一个问题:在第n-x个月之后变成成虫的成虫(即第n-x+1个月到第n个月变成的成虫)在第n个月还没有达到产卵条件(因为它们的年龄不够x+1个月),所以它们不产卵。而A(n-x)表示的是第n-x个月末的成虫数量,这些成虫都是第n-x个月及之前变成成虫的,所以它们在第n个月一定满足产卵条件(因为从第n-x个月末到第n个月末,中间有x个月,所以它们在第n个月末已经存在了x个月(从第n-x个月末到第n个月末,实际上跨越了x个月,所以它们在第n个月末的年龄至少是x个月,但产卵要求是第x+1个月开始,而第n个月末的产卵行为是在这个月内发生的,所以实际上它们在第n个月初的时候,已经存在了x个月?注意:第n-x个月末的成虫,在第n个月初的时候,已经存在了x个月(因为从第n-x个月的下一个月到第n-1个月末,共x-1个月,加上第n-x个月,实际上它们在第n个月初的年龄是x个月?这个时间点计算需要明确。 为了避免混淆,我们统一以月末统计: - 第n-x个月末:成虫数量为A(n-x),这些成虫在此时已经存在。 - 从第n-x+1个月到第n个月,这x个月中,它们每个月都存活(因为不死),所以到了第n个月末,它们已经存活了x个月(从第n-x个月末到第n个月末,中间有x个月,所以它们的年龄增加了x个月)。但是,产卵的条件是:从成虫变成成虫的那个月开始算,第x+1个月开始产卵。那么,对于第n-x个月末的成虫,它们变成成虫的时间可能是第n-x个月(如果是第n-x个月新变成的)或者更早。如果是第n-x个月新变成的,那么在第n-x个月末,它们刚变成成虫(年龄1个月),那么在第n个月末,它们的年龄是x+1个月(因为从第n-x个月末到第n个月末,有x个月,所以年龄增加了x个月,变成x+1个月)。因此,在第n个月,它们会产卵。如果是更早的成虫,当然也会产卵。 所以,第n个月产卵的成虫数量就是A(n-x)。因此,第n个月新产的卵数量为:y * A(n-x)。 那么,递推为: A(n) = A(n-1) + B(n-2) (n>=3) B(n) = y * A(n-x) (n>=x+1) 初始条件: n=1: A(1)=1, B(1)=0 (因为第一个月只有一对成虫,没有产卵,因为第一个月是成虫的第一个月,不产卵) n=2: 对于A(2):A(2)=A(1)+B(0) 但是B(0)没有定义,所以我们需要重新考虑初始条件,并单独处理前两个月。 实际上,我们重新考虑: 第1个月:A(1)=1, B(1)=0(因为第一个月成虫不产卵) 第2个月:A(2)=A(1)+B(0) 这里B(0)表示第0个月的卵,显然没有,所以B(0)=0,则A(2)=1+0=1。 而B(2):当n=2时,如果x+1<=2,即x<=1,那么B(2)=y*A(2-x)。如果x=1,则B(2)=y*A(1)=y*1=y。如果x>=2,则B(2)=0(因为n=2<x+1,即2<x+1,也就是x>1,则B(2)=0)。 因此,我们可以将递推写为: A(1)=1, B(1)=0 A(2)=1, B(2)= (x<=1 ? y*A(2-x) : 0) [如果x<=1,则B(2)=y*A(2-x),否则0] 对于n>=3: A(n) = A(n-1) + B(n-2) B(n) = (n>=x+1) ? y * A(n-x) : 0 注意:当n-x小于1时,A(n-x)我们定义为0(因为第0个月没有成虫),但实际上n>=x+1时,n-x>=1,所以不会出现小于1的情况。但是当n-x=0或负数时,我们不考虑,因为n>=x+1保证了n-x>=1。 但是,这里B(n)在n<x+1时都是0,因为还没有成虫满足产卵条件。 因此,我们可以用动态规划从n=1计算到n=z。 注意:当z=1时,直接输出A(1)=1。 例子:x=1, y=1, z=4 n=1: A(1)=1, B(1)=0 n=2: A(2)=A(1)+B(0) -> 这里B(0)我们认为是0,所以A(2)=1+0=1; B(2)=y*A(2-1)=y*A(1)=1*1=1 (因为x=1,所以n=2>=1+1=2,满足条件) n=3: A(3)=A(2)+B(1)=1+0=1; B(3)=y*A(3-1)=1*A(2)=1*1=1 n=4: A(4)=A(3)+B(2)=1+1=2; B(4)=y*A(4-1)=1*A(3)=1*1=1 所以第4个月成虫数量为2。 另一个例子:x=2, y=1, z=5 n=1: A(1)=1, B(1)=0 n=2: A(2)=A(1)+B(0)=1+0=1; B(2)=0 因为n=2<2+1=3,所以B(2)=0 n=3: A(3)=A(2)+B(1)=1+0=1; B(3)=y*A(3-2)=1*A(1)=1 (因为3>=2+1=3,所以满足条件) n=4: A(4)=A(3)+B(2)=1+0=1; B(4)=y*A(4-2)=1*A(2)=1 n=5: A(5)=A(4)+B(3)=1+1=2; B(5)=y*A(5-2)=1*A(3)=1 所以第5个月成虫数量为2。 但是,我们期望x=2, y=1, z=5时,应该是多少?根据之前的分析,第5个月成虫2对,符合。 因此,我们可以编写代码。 注意:在计算过程中,我们只需要保存A和B的最近的一些月份的值(因为递推只涉及到前面几个月份)。但是,由于我们需要A(n-x),而x可能很大,所以我们需要保存从1到n-1的A的值。或者,我们可以用两个数组:A[1..z]和B[1..z],然后递推计算。 步骤: 1. 定义数组A[1..z], B[1..z]。 2. 初始化: A[1] = 1; B[1] = 0; 3. 如果z>=2: A[2] = A[1] + B[0] -> 但是B[0]不存在,我们将其视为0,所以A[2]=1。 B[2] = (2>=x+1) ? y*A[2-x] : 0 -> 注意:2-x可能小于1,所以当2-x<1时,我们直接取0(因为2-x<1意味着2-x<=0,没有成虫),所以也可以写成:如果2>=x+1,则B[2]=y*A[2-x],否则0。但是当x>1时,2-x可能小于1,所以如果2-x<1,那么A[2-x]不存在,我们视为0。所以我们可以这样:如果n>=x+1且n-x>=1,则B[n]=y*A[n-x];否则0。 4. 对于n从3到z: A[n] = A[n-1] + B[n-2]; B[n] = (n>=x+1) ? y * A[n-x] : 0; 但是,注意:当n-x<1时,A[n-x]不存在,所以我们需要判断n-x>=1?实际上,n>=x+1保证了n-x>=1(因为x是正整数,所以n>=x+1 => n-x>=1)。因此,当n>=x+1时,n-x>=1,所以A[n-x]已经计算过(因为n-x<=n-1,而我们是按顺序计算的,所以已经计算过)。所以我们可以直接使用。 但是,如果x很大,比如x>n,那么n>=x+1就不成立,所以B[n]=0。 因此,我们可以这样写代码: A[1] = 1; B[1] = 0; if (z >= 2) { A[2] = 1; // 因为A[1]+B[0]=1+0=1 if (x <= 1) { // 此时2>=x+1 等价于 x<=1 B[2] = y * A[2-x]; // 如果x<=1,那么2-x>=1,因为x至少为1(题目没有说x的范围,但通常x>=1),所以2-x=1,所以A[2-x]=A[1]=1 } else { B[2] = 0; } } for (int n=3; n<=z; n++) { A[n] = A[n-1] + B[n-2]; if (n >= x+1) { B[n] = y * A[n-x]; } else { B[n] = 0; } } 最后输出A[z]。 但是,注意:x可能为0吗?题目没有说,但通常x>=1。因为如果x=0,那么第一个月成虫就会产卵(因为过0个月产卵),但是题目又规定卵长成成虫后的第一个月不产卵,而这里x=0,那么成虫在第一个月(即变成成虫的第一个月)就要产卵?这与题目规定“卵长成成虫后的第一个月不产卵”矛盾。所以x应该大于等于1。所以我们假设x>=1。 另外,z>=1。 但是,我们也可以考虑x=0的情况(虽然题目可能不会给),那么: 在第一个月:成虫1对,在第一个月产卵y对。所以B[1]=y*A[1]=y*1=y。 第二个月:A[2]=A[1]+B[0]=1+0=1(因为B[0]不存在,视为0),然后B[2]=y*A[2-0]=y*A[2]=y*1=y(因为2>=0+1,所以成立)。 第三个月:A[3]=A[2]+B[1]=1+y,B[3]=y*A[3]=y*(1+y) 等等。 所以代码中,我们不对x做特殊限制,按照一般情况处理。 但是,我们需要注意的是,当n-x<1时,A[n-x]不存在,所以我们在计算B[n]时,如果n>=x+1,那么n-x>=1,所以我们可以直接取A[n-x];否则,B[n]=0。所以不需要担心。 因此,我们编写代码,并注意数组下标从1开始。 但是,C++中数组下标从0开始,所以我们可以: A[0]表示第1个月(即索引0对应第1个月)?或者我们让数组索引从0到z-1,表示第1个月到第z个月。或者,我们使用1-indexed,我们可以分配大小为z+1的数组,然后使用A[1]..A[z]。 代码: #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { long long x, y, z; cin >> x >> y >> z; // 注意:z个月,我们需要计算第1个月到第z个月 // 如果z=1,则直接输出1 if (z == 1) { cout << 1 << endl; return 0; } vector<long long> A(z+1, 0); // 索引1到z vector<long long> B(z+1, 0); // 索引1到z // 第1个月 A[1] = 1; B[1] = 0; // 第2个月 if (z >= 2) { A[2] = 1; // 因为A[1] + B[0] = 1 + 0 = 1 // 判断第2个月是否满足产卵条件:2>=x+1 -> x<=1 if (x <= 1) { // 此时2-x>=1,因为x最小为1(假设x>=1),所以2-x=1 B[2] = y * A[2-x]; // 2-x的值作为下标,比如x=1,则2-x=1,所以A[1]=1 } else { B[2] = 0; } } // 从第3个月开始 for (int n = 3; n <= z; n++) { // 计算A[n] = A[n-1] + B[n-2] A[n] = A[n-1] + B[n-2]; // 计算B[n]:如果n>=x+1,则B[n]=y*A[n-x],否则0 if (n >= x+1) { // 注意:n-x>=1,因为n>=x+1 -> n-x>=1 B[n] = y * A[n-x]; } else { B[n] = 0; } } cout << A[z] << endl; return 0; } 但是,这里有一个问题:当x=0时,上面的处理在n=2时,2>=0+1成立,所以B[2]=y*A[2-0]=y*A[2],而A[2]我们已经计算为1,所以B[2]=y*1=y。然后n=3时,A[3]=A[2]+B[1]=1+0=1(因为B[1]为0),然后B[3]=y*A[3-0]=y*A[3]=y*1=y。n=4时,A[4]=A[3]+B[2]=1+y,B[4]=y*A[4]=y*(1+y)。所以是合理的。 但是,题目没有说x可以为0,所以按照x>=1处理应该没问题。但为了鲁棒性,我们允许x>=0。 但是,注意:当x=0时,第1个月成虫就会产卵,而题目规定“卵长成成虫后的第一个月不产卵”,这里成虫在第一个月产卵,而它们自己就是第一个月(刚变成成虫),这违反了规定?实际上,题目中的成虫是第一个月就存在的,所以它们不是由卵变成的,所以它们可能不受“卵长成成虫后的第一个月不产卵”的限制?题目没有明确。所以为了避免歧义,我们假设x>=1。 如果题目中x可能为0,那么我们就按照上面的计算。 因此,代码可以处理x>=0。 然而,我们还需要考虑z=1,2的情况,已经处理了。 但是,当z=1时,我们直接输出1。当z=2时,我们计算A[2]=1,然后输出。 但是,还有一种情况:当x很大,比如x>z,那么在整个过程中,没有成虫产卵,所以B数组全为0,那么A[n]=A[n-1](因为B[n-2]为0),所以A[z]=1。 所以,这个递推满足。 我们测试:x=3, y=1, z=3 n=1: A[1]=1, B[1]=0 n=2: A[2]=1, B[2]=0 (因为2<3+1=4,所以B[2]=0) n=3: A[3]=A[2]+B[1]=1+0=1, B[3]=0 (因为3<4) 所以A[3]=1。 当z=4时: n=4: A[4]=A[3]+B[2]=1+0=1, 然后B[4]=y*A[4-3]=1*A[1]=1 所以A[4]=1,B[4]=1。 当z=5时: A[5]=A[4]+B[3]=1+0=1, B[5]=y*A[5-3]=1*A[2]=1 z=6时: A[6]=A[5]+B[4]=1+1=2, B[6]=y*A[6-3]=1*A[3]=1 z=7时: A[7]=A[6]+B[5]=2+1=3, B[7]=y*A[7-3]=1*A[4]=1 z=8时: A[8]=A[7]+B[6]=3+1=4, B[8]=y*A[8-3]=1*A[5]=1 所以,这个递推关系是合理的。 因此,我们按照上述代码实现。 注意:题目中x,y,z都是整数,而且z可能很大,所以我们需要用long long(因为繁殖很快,数量可能很大)。 但是,我们测试一下x=1,y=1,z=1~4: z=1: A[1]=1 -> 1 z=2: A[2]=1 -> 1 z=3: A[3]=1 -> 1 z=4: A[4]=2 -> 2 而经典斐波那契(兔子问题)是:1,1,2,3,5,... 但是这里我们得到的是1,1,1,2,所以不是斐波那契,因为繁殖规则不同。 因此,代码可以这样写。 但是,注意:在计算B[n]时,我们使用的是A[n-x],而A[n-x]在之前已经计算过(因为n>=3,而n-x<=n-1,所以在前面的循环中已经计算了A[n-x])。 最后,我们输出A[z]。 注意:数组大小是z+1,所以z不能太大,比如z<=10^6,那么内存需要大约16MB(两个数组,每个10^6个long long,每个8字节,共16MB),时间O(z)。如果z很大(比如10^7),在C++中也是可以接受的(在OJ上注意时间限制)。 所以,完整代码:</think>以下是解决昆虫繁殖问题的C++递推代码。代码基于动态规划,使用两个数组`A`和`B`分别记录每月成虫和卵的数量,根据给定的参数`x`(产卵延迟月数)、`y`(每次产卵对数)和`z`(总月数)计算最终成虫对数。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { long long x, y, z; cin >> x >> y >> z; // 输入参数 // 处理z=1的特殊情况 if (z == 1) { cout << 1 << endl; return 0; } vector<long long> A(z + 1, 0); // A[n]: 第n月末成虫对数 vector<long long> B(z + 1, 0); // B[n]: 第n月末新产卵对数 // 初始化第1个月 A[1] = 1; // 起始成虫1对 B[1] = 0; // 第1个月不产卵 // 初始化第2个月 A[2] = 1; // A[2] = A[1] + B[0] (B[0]视为0) if (x <= 1) { // 若x=0或1,第2个月可能产卵 B[2] = (x == 0) ? y * A[2] : y * A[2 - x]; // x=0时用A[2], x=1时用A[1] } else { B[2] = 0; // x>1时不产卵 } // 从第3个月开始递推 for (int n = 3; n <= z; n++) { A[n] = A[n - 1] + B[n - 2]; // 成虫数 = 上月成虫 + 前2个月的卵(已成熟) if (n >= x + 1) { B[n] = y * A[n - x]; // 满足产卵条件:成虫存活≥x+1个月 } else { B[n] = 0; // 不满足产卵条件 } } cout << A[z] << endl; // 输出第z月末成虫对数 return 0; } ``` ### 关键逻辑说明: 1. **成虫数量`A[n]`**:由前一个月的成虫数`A[n-1]`加上两个月前产的卵(已成熟为成虫)`B[n-2]`计算。 2. **卵数量`B[n]`**:仅当`n ≥ x+1`时,由`n-x`月的成虫产卵`y * A[n-x]`计算(因成虫需过`x`个月才开始产卵)。 3. **边界处理**: - 第1个月:固定1对成虫,无卵 - 第2个月:成虫仍为1对,根据`x`值判断是否产卵 - `z=1`时直接返回1对成虫 ### 示例输入输出: - **输入:** `1 1 4` (x=1, y=1, z=4) **输出:** `2`(过程见下表) | 月份 | 成虫(A) | 卵(B) | |------|---------|-------| | 1 | 1 | 0 | | 2 | 1 | 1 | | 3 | 1 | 1 | | 4 | 2 | 1 |
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