线性代数专题复习

一.转置和逆矩阵

①

$$(AB{)}^T=B^T{A}^T$$

证明：

感觉这个不好直接证明，求和符号一坨一坨的，但是阔以弄个直观一点不是直接把转置符号拿进去的：
比如A，B都是$n\times 1$的列向量，现在$A{B}^T$就是一个$n\times n$的矩阵，那么$(A{B}^T{)}^T$是多少喃？反正肯定不是$A^{T}B$，因为这样子是一个$1\times 1$的矩阵了，而反一哈$B^{T}A$就是一个$n\times n$的矩阵，稍微要对一些

②

$$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$

证明：

$(AB{)}^{-1}AB=E$
两边同时右乘一个$B$变成：
$(AB{)}^{-1}A=B^{-1}$
两边再同时右乘一个$A$变成：
$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
这样就搞定了，与转置比较统一，感觉挺爽的~

推广：

$(ABC{)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}$

③

$$(A+B{)}^T=A^T+B^T$$
这个还很容易理解，写这个是因为逆矩阵没有对应的样子。。。

④

$$(A+B{)}^{-1}=???$$
为啥没有喃？看别的小伙伴说，假如不是矩阵是数的话都不怎么对
$\frac{1}{a+b}$≠$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

所以是没有这个的，感觉好不爽啊~
如果非要找一哈$(A+B{)}^{-1}$是多少的话，也阔以
( A + B ) − 1 = [ B ( B − 1 A + E ) ] − 1 = [ B ( B − 1 + A − 1 ) A ] − 1 = A − 1 ( A − 1 + B −