hdu 4746 Mophues （莫比乌斯反演）

最新推荐文章于 2021-05-30 16:44:55 发布

SwustLpf

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分类专栏：莫比乌斯反演

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博客讲述了如何利用莫比乌斯反演解决HDU 4746 Mophues问题。通过分析样例，指出每个F(n)与n的因子有关，提出避免重复计算的优化策略，即只遍历一次并考虑数的质因子个数不超过19，从而高效求解问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

第二个样例： $N=10,M=10,P=1$

$ans=f(1)+f(2)+f(3)+f(5)+f(7)$

每个 $f$ 具体的值
这里写图片描述

以 $F(n)$ 来展示：
$ans=$
$F(1)*\mu(1)+$
$F(2)*[\mu(1)+\mu(2)]+$
$F(3)*[\mu(1)+\mu(3)]+$
$F(4)*[\mu(1)+\mu(2)+\mu(4)]+$
$F(5)*[\mu(1)+\mu(5)]+$
$F(6)*[\mu(1)+\mu(2)+\mu(3)+\mu(6)]+$
$F(7)*[\mu(1)+\mu(7)]$
$F(8)*[\mu(1)+\mu(2)+\mu(4)+\mu(8)]+$
$F(9)*[\mu(1)+\mu(3)+\mu(9)]+$
$F(10)*[\mu(1)+\mu(2)+\mu(5)+\mu(10)]$

阔以发现：每个 $F(n)$ 都有一个由 $\mu$ 组成的系数，并且这几个 $\mu$ 的值都是 $n$ 的因子（为啥会是这样我也没懂~）

我们用 $sum[n]$ 来表示 $F(n)$ 的这个系数的和

s u m [n] = \sum d | n μ (d)

$sum[n]=\sum_{d|n}\mu(d)$

那怎么求这 $n$ 个 $sum$ 喃？遍历一次 $n$ 然后再找每个 $n$ 的因子？那显然是要不得的

我们只需要从 $1$ 到 $n$ 遍历一遍，然后看每个数作为因子，把他作为因子的贡献加到相应的地方就行了
这里写图片描述

for(int i=1;i<=N;i++)
{
    for(int j=i;j<=N;j+=i)
    {
        sum[j]+=mu[j/i];
    }
}

而这道题还有个条件，就是他的质因子的个数要小于 $P$ ，数据范围是 $5e5$ 因此，最小的质因子 $2$ ，最多 $19$ 个 $2$ 都已经达到了 $5e5$ ，因此质因子的个数一定是小于等于 $19$ 的
因此我们再多加一维，用 $sum[j][num(i)]$ 来表示， $num[i]$ 是的质因子个数

/*
***********
未分块加速版本
***********
这个是没有分块加速的，我跑个300w的Q，速度也没跟加速的差好多呀，但是就是T了。。。
*/
#include"bits/stdc++.h"
//#include"iostream"
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;
char mu[maxn];
vector<int>prime;
bool vis[maxn];
int sum[maxn][20];//sum[i][j]表示i的所有因子的莫比乌斯函数之和
int num[maxn];//i的质因子个数
int N,M,P;
void Init(int NN)
{
    memset(vis,1,sizeof(vis));
    memset(num,0,sizeof(num));
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=NN;i++)
    {
        if(vis[i])
        {
            prime.push_back(i);
            mu[i]=-1;
            num[i]=1;
        }
        for(int j=0;j<prime.size()&&i*prime[j]<=NN;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=0;
            num[i*prime[j]]=num[i]+1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int main()
{
    Init(500000);
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    for(int i=1;i<maxn;i++)//求因子i的所有贡献，但是分布到了20个维度上去了，因此下一步还要把他们加回来
    {
        for(int j=i;j<maxn;j+=i)
        {
            sum[j][num[i]]+=mu[j/i];
        }
    }
    for(int i=1;i<maxn;i++)//把分散的都加回来
    {
        for(int j=1;j<20;j++)sum[i][j]+=sum[i][j-1];
    }
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d",&N,&M,&P);
        if(P>=20)
        {
            cout<<(long long)N*M<<endl;
            continue;
        }
        if(N>M)swap(N,M);
        long long ans=0;
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            ans+=sum[i][P]*(N/i)*(M/i);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}