HDU - 4746 （莫比乌斯反演）

最新推荐文章于 2024-05-28 18:26:05 发布

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本文介绍了一种算法，用于计算在给定整数P的情况下，两个整数a和b构成的数对(a,b)的数量，其中a和b的最大公约数是P的幸运数。幸运数是指一个数的质因数个数不超过P。文章详细解释了算法原理，并提供了实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

As we know, any positive integer C ( C >= 2 ) can be written as the multiply of some prime numbers:
    C = p1×p2× p3× ... × pk
which p1, p2 ... pk are all prime numbers.For example, if C = 24, then:
    24 = 2 × 2 × 2 × 3
    here, p1 = p2 = p3 = 2, p4 = 3, k = 4

Given two integers P and C. if k<=P( k is the number of C's prime factors), we call C a lucky number of P.

Now, XXX needs to count the number of pairs (a, b), which 1<=a<=n , 1<=b<=m, and gcd(a,b) is a lucky number of a given P ( "gcd" means "greatest common divisor").

Please note that we define 1 as lucky number of any non-negative integers because 1 has no prime factor.

Input

The first line of input is an integer Q meaning that there are Q test cases.
Then Q lines follow, each line is a test case and each test case contains three non-negative numbers: n, m and P (n, m, P <= 5×10 ⁵. Q <=5000).

Output

For each test case, print the number of pairs (a, b), which 1<=a<=n , 1<=b<=m, and gcd(a,b) is a lucky number of P.

Sample Input

2
10 10 0
10 10 1

Sample Output

还是老样子，设 f(d) 为 gcd( a, b )=d 的数目，则F( d ) 为 gcd (a , b) 是 d 的倍数的数目，则F（d）就是（n/d）*（m/d）
然后有：（设 miu[ ] 是莫比乌斯函数）
f(1)=miu(1)*F(1)+miu(2)*F(2)+.........+miu(p1*p2*......*pi)*F(p1*p2*.......*pi)
f(2)=miu(1)*F(1*2)+miu(2)*F(2*2)+..........+miu(p1*p2*.....*pj)*F(p1*p2*.......*pj*2)

………………

f(d)=miu(1)*F(1*d)+miu(2)*F(2*d)+..........+miu(p1*p2*.....*pk)*F(p1*p2*.......*pk*d)

然后把 f（i）中的质因子个数小于等于 p 的 i 对应的 f（i）加起来就得到 ans=f(1)+f(2)+.....+f(i)+........ = a(1)*F(1)+a(2)*F(2)+.......+a(i)*F(i)+.......
其中a（i）为 i 相同的F（i）对应的各种 miu（i / j）的和。。。。。emmm…… 也就是说，对于一个 j ，筛出他的倍数 i ，则这个 j 对 F（i）的贡献为 a( i )+=miu（i / j）。。。
然后莫比乌斯函数求和啊分段把 F（i）加起来啊就完了
（我好没用实在讲不清楚。。。。。。。。）
当然，同时还要注意 gcd 是不是 lucky number ，也就是限制其质因子个数小于等于 p
这个时候我们可以开一个二维数组 a[ i ][ j ] 表示 i 的倍数中质因子个数至多为 j，用这个数组来存对应的莫比乌斯函数的和
以下 K[ i ] 表示 i 的质因子有多少个，这个题他时间卡的紧（反正我是这么觉得），所以 K 数组不要用传统的那种一个一个遍历素数表的方法打表，会T的
可以跟着素数表直接打出来，这个比较快。
还有，以下 F[ i ][ j ] 即上述的 a[ i ][ j ]

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD=1e9+7;
#define fi first
#define se second
const int MAXN=1000000+23;
LL prime[MAXN],total,miu[MAXN];
bool isprime[MAXN];
LL F[MAXN][23],K[MAXN];
void make()
{
    int m=MAXN-3;
    memset(isprime,true,sizeof(isprime));
    memset(K,0,sizeof(K));
    total=0;
    isprime[0]=isprime[1]=false;
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        if(isprime[i]){prime[++total]=i;miu[i]=-1;K[i]=1;}
        for(int j=1;j<=total&&prime[j]*i<=m;j++)
        {
            K[i*prime[j]]=K[i]+1;
            isprime[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j])
            {
                miu[i*prime[j]]=-miu[i];
            }
            else
            {
                miu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    miu[0]=0;
//    for(int i=1;i<=m;i++)miu[i]+=miu[i-1];
}

LL n,m,p;

void Init()
{
    LL m=5e5+230,_max=0;
    for(LL i=1;i<=m;i++)
    {
        _max=max(_max,K[i]);
        for(int j=1;j*i<=m;j++)
        {
            F[j*i][K[i]]+=miu[j];
        }
    }
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        for(int i=1;i<=_max;i++)
        {
            F[j][i]+=F[j][i-1];
        }
    }
    for(int i=0;i<=_max;i++)
    {
        for(int j=2;j<=m;j++)
        {
            F[j][i]+=F[j-1][i];
        }
    }
}

int main()
{
    make();
    Init();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
        if(p>18)
        {
            printf("%lld\n",n*m);
            continue;
        }
        if(n>m)swap(n,m);
        LL ans=0;
        for(LL i=1,last=0;i<=n;i=last+1)
        {
            last=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=(F[last][p]-F[i-1][p])*((n/i)*(m/i));
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

emmmm............我才刚开始莫比乌斯专题，对每个题目的理解度不高，比如这个题目写的博客就和大佬们差距灰常大，所以请各位多多指正在下文意不清或者是有错误的地方
。。。。。。。（怀疑人生中）