DilWorth定理

最新推荐文章于 2024-05-25 12:11:52 发布
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反链定义：排序集(A,≤)的一个反链是 A的一个子集 反链中任意的两个元素都不能比
链定义：排序集(A,≤)的一个链是 A的一个子集 链中任意的两个元素都可比
定理一：一个偏序集S中，最长链的大小为p，那么S最小可以划分为p个反链
定理二：一个偏序集S中，最长反链的大小为p，那么S最小可以划分为p个链

Order theory 与 Dilworth's theorem
这个博客已经搬到了：zhongyuwei.github.io
12-12 519
Order theory partial order 偏序关系 (partial order) 定义为满足下列条件的二元关系： 自反性 (reflexivity)，即a≤aa\le aa≤a 非对称性 (antisymmetry)，即a≤b∧b≤a⇒a=ba\le b \wedge b\le a \Rightarrow a=ba≤b∧b≤a⇒a=b 传递性 (transitivity)，即a≤b...
【学习笔记】Dilworth 定理的构造性证明
suncongbo's blog
07-16 1017
发现自己并不会 Dilworth 定理的构造性证明（原题要求输出方案），于是去 Wiki 上学习了一下。下文是我参照 Wiki 上的证明思路口胡的一个证明。 附例题：Codeforces 590E Dilworth 定理: DAG 的最长反链大小等于最小链覆盖大小。 反链是指从图中的一个点的集合，使得集合内点两两不可达；链覆盖是指用若干条可以相交的链覆盖图中所有的点。 证明: 首先考...
Dilworth定理
weixin_30684743的博客
08-03 174
偏序集的两个定理：定理1) 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令r是其最大链的大小。则X可以被划分成r个但不能再少的反链。其对偶定理称为Dilworth定理：定理2) 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令m是反链的最大的大小。则X可以被划分成m个但不能再少的链。 即：链的最少划分数 = 反链的最长长度 以上转自：http://www.cppblog.com/jie414341055/archive...
有限半序集的结构分析和Dilworth定理的新证明 (1982年)
05-15
在本文中我们讨论了有限半序集的结构分析,并给出了Dilworth定理的两种新证明。在(一)中我们对半序集引进了独立集(最大不可比集)的概念、度数的概念和顶集的概念。得到了关于半序集结构的分层定理(定理1),并应用顶集...
Dilworth定理的简单应用（导弹拦截题解）
sanjiucool的博客
12-19 651
Dilworth定理的简单应用（导弹拦截题解）
Dilworth定理证明
qq_36679229的博客
02-24 1109
以下证明摘自网上相关资料，本人为了理解方便作了部分修改： 设偏序集S。S能划分成的最少的全序集的个数为K，S的最大反链的元素个数为M。 1. 先证明K>=M。设反链A={a1,a2,...,aM}。假设K<M，那么由抽屉原理，必然有两个元素ai,aj在同一个全序集中。那么ai,aj可比。与ai,aj不可比矛盾。 2. 再证明K=M。用第二数学归纳法。 　　设全序集S中有m个元素...
P1020 导弹拦截（Dilworth定理）
蛇形矩阵
08-16 284
狄尔沃斯定理 (Dilworth’s theorem) 某大佬的话：： 这个定理和一个对偶定理,讲的意思大概就是,给一个偏序关系,比如说是一个数它出现的位置i在另一个数出现的位置j之前,而且满足ai>aj.那么满足这个偏序关系的链就叫做链.关于链和反链: 链是一个偏序集S的全序子集（所谓全序是指任意两个元素可比较） 反链（是一个偏序集S的子集，其中任意两个元素不可比较. dilworth说的是:最大链的长度等于最少反链覆盖数.而最大反链的长度等于最少链覆盖数. **某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一
dilworth定理
baoao7164的博客
08-27 806
定义：：在数学理论中的序理论与组合数学中，Dilworth定理根据序列划分的最小数量的链描述了任何有限偏序集的宽度。其名称取自数学家Robert P. Dilworth。 定理内容：： 反链是一种偏序集，其任意两个元素不可比；而链则是一种任意两个元素可比的偏序集。Dilworth定理说明，存在一个反链A与一个将序列划分为链族P的划分，使得划分中链的数量等于集合A的基数。当存在这种情况...
Dilworth 定理
sophilex的博客
05-25 1193
这是一个关于偏序集的定理，事实上它也可以扩展到图论，dp等中，是一个很有意思的东西。
Dilworth定理：最少的下降序列个数就等于整个序列最长上升子序列的长度
island1314的博客
05-14 2181
注意，显然DP是递增的（两种转移都不会破坏递增性），但这并不意味着它就是所求的上升子序列，你看，下一个元素是2，它会把。好了，最后得到的数组长度是4，所以最长上升子序列的长度就是4。4->8是长度为2的上升子序列，4->5也是，但是5比8更小，所以。把n个人提出来成为原序列的一个子序列，根据题意这个子序列中的元素是单调递增的（即后一项总是大于前一项），我们称为。更新成{2, 5, 6, 7}，但原序列并没有一个子序列是{2, 5, 6, 7}。现在有序列4，8，9，5，6，7，2，7求LIS。
最小链覆盖——Dilworth定理
一身清贫怎敢入繁华
02-28 1万+
Dilworth定理 Dilworth定理，一言以蔽之，偏序集能划分成的最少的全序集个数等于最大反链的元素个数。——————litble 狄尔沃斯定理(Dilworth’s theorem)亦称偏序集分解定理，是关于偏序集的极大极小的定理，该定理断言：对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。此定理的对偶形式亦真，它断言：对于任意有限偏序集，其最长链中元素的数目必等于其...
偏序集-Dilworth定理
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许增强
02-19 1万+
偏序的概念： 设A是一个非空集，P是A上的一个关系，若关系P是自反的、反对称的、和传递的，则称P是集合A上的偏序关系。 即P适合下列条件： （1）对任意的a∈A,(a,a)∈P; （2）若（a,b)∈P且（b,a)∈P,则a=b; （3）若（a,b)∈P,(b,c)∈P,则（a,c)∈P,则称P是A上的一个偏序关系。带偏序关系的集合A称为偏序集或半序集。 若P是A上的一个偏序关系，我们
Dilworth
最新发布
03-31
<think>好的，我现在需要处理用户关于Dilworth定理的查询。首先，我需要确认用户的具体需求是什么。他们提到想了解Dilworth定理或Dilworth算法，可能是在学习组合数学或算法时遇到了相关内容，比如在解决偏序集分解的问题，或者在处理像洛谷P1233这样的题目时遇到的。 接下来，我需要回忆Dilworth定理的基本内容。定理指出，在任意有限偏序集中，其宽度（即最大的反链大小）等于将该集合划分为最少数量的链的数。同时，定理的逆也成立，即链的最小数等于最长反链的大小。这一点可能用户需要明确，特别是定理的两个方向。 然后，关于Dilworth定理的证明，特别是构造性证明，用户可能希望了解如何实际应用这个定理来生成具体的划分方法。根据引用[1]中的内容，构造性证明涉及到找到最大反链，并通过归纳法处理子集。可能需要详细解释这个过程，但要注意不要过于复杂，保持清晰。 用户提供的引用中，引用[2]提到划分是按照最长上升子序列的长度，这可能涉及到Dilworth定理在序列分解中的应用，比如将一个序列分解为最少的最长不升子序列数目等于其最长上升子序列的长度。这部分需要结合例子说明，比如像洛谷题目中的木棍加工问题，应用Dilworth定理来转化问题。 另外，用户提到的Dilworth算法，可能是指应用该定理的具体算法步骤，如如何构造链的划分。可能需要解释如何通过贪心算法或动态规划来找到最长反链，或者如何分解链。引用[3]中的链接可能提供了具体的算法思路，需要结合这些内容进行说明。 在组织回答时，需要按照用户的要求，使用中文，分点解释定理内容、证明思路和应用场景。同时，生成相关问题，比如定理的其他形式、应用实例、与对偶定理的关系等，帮助用户进一步学习。 需要确保所有数学表达式正确使用$...$和$$...$$格式，例如在提到偏序集、链、反链时，使用正确的符号，如$P$，$A$等。同时，引用的标注要自然，比如在提到应用场景时引用相关的例子来源。 最后，检查是否有遗漏的信息，比如Dilworth定理的对偶形式，或者在实际算法中的具体实现步骤，确保回答全面且准确，符合用户的查询意图。</think>### Dilworth定理详解 #### 一、定理内容 Dilworth定理包含两个核心命题： 1. **分解定理**：任意有限偏序集$(P, \leq)$的最小链划分数等于其最大反链的大小[^1] 2. **对偶定理**：任意有限偏序集$(P, \leq)$的最小反链划分数等于其最长链的长度 其中： - **链**：集合中两两可比较的元素子集 - **反链**：集合中两两不可比较的元素子集 - **偏序集**：具有自反、反对称、传递关系的集合 #### 二、证明思路（构造性） 1. 设$k$为偏序集的最大反链大小 2. 若存在元素$x$不属于任何最大反链，则可递归处理$P \setminus \{x\}$ 3. 当所有元素都属于某个最大反链时： - 构造覆盖关系图，寻找最长链 - 通过归纳法证明可用$k$条链覆盖整个集合[^1] #### 三、应用场景 1. **木棍加工问题**（洛谷P1233） - 将木棍按长度、宽度排序后，求最少加工轮次 - 转化为求最长上升子序列长度[^3] 2. **任务调度优化** - 确定并行处理任务的最小资源需求 3. **组合数学证明** - 解决极值集合的分解问题 #### 四、算法实现 以木棍加工问题为例的伪代码框架： ```python def min_processing(sticks): sticks.sort(key=lambda x: (x.length, -x.width)) dp = [] for s in sticks: # 二分查找插入位置 pos = bisect_left(dp, s.width) if pos == len(dp): dp.append(s.width) else: dp[pos] = s.width return len(dp) ``` 此算法时间复杂度为$O(n \log n)$，空间复杂度$O(n)$[^3]
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