LOJ2321「清华集训 2017」无限之环

原创已于 2025-02-05 13:22:41 修改 · 639 阅读

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#算法

于 2018-06-30 11:21:46 首次发布

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本文详细解析了游戏“无限之环”的玩法与挑战，通过网络流算法解决游戏中的水管拼接问题，实现最少操作次数使棋盘上的水管无泄漏。

原题链接：https://loj.ac/problem/2321

无限之环

题目描述

曾经有一款流行的游戏，叫做 $\text{Infinity Loop}$ ，先来简单的介绍一下这个游戏:

游戏在一个 $\times m$ 的网格状棋盘上进行，其中有些小方格中会有水管，水管可能在方格某些方向的边界的中点有接口，所有水管的粗细都相同，所以如果两个相邻方格的公共边界的中点都有接头，那么可以看作这两个接头互相连接。水管有以下 $15$ 种形状：

游戏开始时，棋盘中水管可能存在漏水的地方。

形式化地:如果存在某个接头，没有和其它接头相连接，那么它就是一个漏水的地方。

玩家可以进行一种操作：选定一个含有非直线型水管的方格，将其中的水管绕方格中心顺时针或逆时针旋转 $90$ 度。

直线型水管是指左图里中间一行的两种水管。

现给出一个初始局面，请问最少进行多少次操作可以使棋盘上不存在漏水的地方。

输入格式

第一行两个正整数 $n, m$ ，代表网格的大小。

接下来 $n$ 行每行 $m$ 个数，每个数是 $[0, 15]$ 中的一个，你可以将其看作一个 $4$ 位的二进制数，从低到高每一位分别代表初始局面中这个格子上、右、下、左方向上是否有水管接头。

特别地，如果这个数是 $0$ ，则意味着这个位置没有水管。

比如 $3(0011_{(2)})$ 代表上和右有接头，也就是一个 L 型，而 $12(1100_{(2)})$ 代表下和左有接头，也就是将 L 型旋转 $180$ 度。

输出格式

输出共一行，表示最少操作次数。如果无法达成目标，输出 $- 1$ .

样例

样例输入 1

2 3
3 14 12
3 11 12

样例输出 1

样例输入 2

3 2
1 8
5 10
2 4

样例输出 2

-1

样例输入 3

3 3
9 11 3
13 15 7
12 14 6

样例输出 3

题解

著名的网络流毒瘤好题。

如果能顺切这道题，网络流水平已经出神入化了。

先考虑不转的情况，我们需要判断的就是当前的网络是否“漏水”。怎么样才叫不漏水呢？按照题目要求，每个接头都要与其他的一个接头相连，即是说，每个接头都要满流。

既然每个格子都要与上下左右的四个格子连接并保证满流，我们就会想到黑白染色的技巧，将相邻格子之间建立起联系，并分别连接超级源点、超级汇点。不妨将每个格子拆成上下左右四个点，强制黑格子的对应点向相邻白格子对应点连边，每个格子内部根据管子的初始状态连边。

将上述格子与格子之间、格子内部的边的容量都设为 $1$ ，超级源点汇点都连 $\mathcal{inf}$ ，跑一遍最大流，查看格点内部的边是否满流就能知道有没有“漏水”了。

这道题要求的是转动次数，我们可以理解为“费用”，下面以黑色格子为例，冷静分析一下（白色的反着连就好了）：

考虑度数为 $1$ 的管子：

顺时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ ：

发现对于一个旋转操作，相当于从 $B$ 向 $C$ 连了一条容量为 $1$ ，费用为 $1$ 边。

而旋转 $\pi$ 就相当于从 $B$ 向 $D$ 连了一条容量为 $1$ ，费用为 $2$ 边。

类比一下，我们就能得到其他管子的连边。

度数为 $2$ 时：

顺时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 时：

$cap(A\to C)=1,cost(A\to C)=1$

同理，逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 时：

$cap(B\to D)=1,cost(B\to D)=1$

而旋转 $\pi$ 时就相当于上面两个操作加和。

度数为 $3$ 时：

顺时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 时：

$cap(A\to D)=1,cost(A\to D)=1$

同理，逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 时：

$cap(C\to D)=1,cost(C\to D)=1$

旋转 $\pi$ 时：

$cap(B\to D)=1,cost(B\to D)=2$

这样也很好理解为什么不资瓷旋转直线型了，因为直线只有一种旋转方式不能加和，并且一次更改了两个接口，没办法用上面的方法建图。

连完边跑费用流就好了，打板贼 $6$ 。

代码

看到第一行代码，大家应该知道我经历了什么。。。

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int M=25000,N=1e5,G=2005;
struct sd{int to,fl,val;}ed[M];
struct cd{int v,w,a,s,d;}pt[N];
int n,m,tot,id,totf,maxf,cost,start,end,edge[9],dis[N],minf[N],pre[N],val[G][G];
bool vis[N];
vector<int>mmp[N];
deque<int>dui;
void add(int f,int t,int fl,int val,int typ)
{
	mmp[f].push_back(id);ed[id++]=(sd){t,(typ?fl:0),(typ?val:-val)};
	mmp[t].push_back(id);ed[id++]=(sd){f,(typ?0:fl),(typ?-val:val)};
}
void link(int x,int y,int val)
{
	if(!val)return;
	int pos=(x-1)*m+y,w,a,s,d,v,du=0,p,typ=(x+y)%2;
	memset(edge,0,sizeof(edge));
	for(int i=0;i<=3;++i){p=1<<i;if(val&p)edge[i]=1,++du;}
	w=pt[pos].w;a=pt[pos].a;s=pt[pos].s;d=pt[pos].d;
	if(typ)
	{
		if(x>1)add(w,pt[pos-m].s,1,0,1);if(x<n)add(s,pt[pos+m].w,1,0,1);
		if(y>1)add(a,pt[pos-1].d,1,0,1);if(y<m)add(d,pt[pos+1].a,1,0,1);
		if(edge[0])add(start,w,1,0,1),++totf;if(edge[1])add(start,d,1,0,1),++totf;
		if(edge[2])add(start,s,1,0,1),++totf;if(edge[3])add(start,a,1,0,1),++totf;
	}
	else
	{
		if(edge[0])add(w,end,1,0,1),++totf;if(edge[1])add(d,end,1,0,1),++totf;
		if(edge[2])add(s,end,1,0,1),++totf;if(edge[3])add(a,end,1,0,1),++totf;
	}
	if(du==1)
	{
		if(edge[0])add(w,a,1,1,typ),add(w,d,1,1,typ),add(w,s,1,2,typ);
		else if(edge[1])add(d,w,1,1,typ),add(d,s,1,1,typ),add(d,a,1,2,typ);
		else if(edge[2])add(s,a,1,1,typ),add(s,d,1,1,typ),add(s,w,1,2,typ);
		else if(edge[3])add(a,s,1,1,typ),add(a,w,1,1,typ),add(a,d,1,2,typ);
	}
	else if(du==2)
	{
		if((edge[0]&edge[2])||(edge[1]&edge[3]))return;
		if(edge[0])add(w,s,1,1,typ);if(edge[1])add(d,a,1,1,typ);
		if(edge[2])add(s,w,1,1,typ);if(edge[3])add(a,d,1,1,typ);
	}
	else if(du==3)
	{
		if(!edge[0])add(a,w,1,1,typ),add(d,w,1,1,typ),add(s,w,1,2,typ);
		else if(!edge[1])add(w,d,1,1,typ),add(s,d,1,1,typ),add(a,d,1,2,typ);
		else if(!edge[2])add(a,s,1,1,typ),add(d,s,1,1,typ),add(w,s,1,2,typ);
		else if(!edge[3])add(w,a,1,1,typ),add(s,a,1,1,typ),add(d,a,1,2,typ);
	}
}
void build()
{
	int pos;
	for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)
	{
		if(!val[i][j])continue;
		pos=(i-1)*m+j,pt[pos].w=++tot,pt[pos].a=++tot,pt[pos].s=++tot,pt[pos].d=++tot;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)link(i,j,val[i][j]);
}
void in()
{
	int a;
	scanf("%d%d",&n,&m);start=n*m*5+100,end=n*m*5+101;
	for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)scanf("%d",&val[i][j]);
	build();
}
bool spfa(int s,int e)
{
	fill(dis,dis+1+tot,INT_MAX);dis[end]=INT_MAX;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	dui.push_front(s);vis[s]=1;dis[s]=0;minf[s]=inf;
	int f,hh,to,fl,val;
	while(!dui.empty())
	{
		f=dui.front();dui.pop_front();vis[f]=0;
		for(int i=mmp[f].size()-1;i>=0;--i)
		{
			hh=mmp[f][i];to=ed[hh].to;fl=ed[hh].fl;val=ed[hh].val;
			if(fl>0&&dis[to]>dis[f]+val)
			{
				dis[to]=dis[f]+val;minf[to]=min(minf[f],fl);pre[to]=hh;
				if(!vis[to])dui.push_back(to),vis[to]=1;
			}
		}
	}
	return dis[e]!=INT_MAX;
}
void up(int s,int e)
{
	int v=e,hh;
	while(v!=s){hh=pre[v];ed[hh].fl-=minf[e];ed[hh^1].fl+=minf[e];v=ed[hh^1].to;}
	maxf+=minf[e];cost+=minf[e]*dis[e];
}
void ac()
{
	while(spfa(start,end))up(start,end);
	printf("%d",maxf*2==totf?cost:-1);
}
int main(){in();ac();}