Luogu1390 公约数的和-优快云博客

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原题链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1390

公约数的和

题目描述

有一天，TIBBAR和LXL比赛谁先算出1~N这N个数中每任意两个不同的数的最大公约数的和。LXL还在敲一个复杂而冗长的程序，争取能在100s内出解。而TIBBAR则直接想1s秒过而获得完胜，请你帮他完成这个任务。

输入输出格式

输入格式：

共一行，一个正整数N。

输出格式：

共一行，一个数，为1~N这N个数中每任意两个不同的数的最大公约数的和。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

对于40%的数据，2≤N≤2000.

对于100%的数据，2≤N≤2000000.

题解

因为只有单组询问，所以可以用各种奇怪姿势过，这里还是直接上数论。

初始式子：

a n s = \sum i = 1 n \sum j = 1 n g c d (i, j)

$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)$

我们枚举最大公因数 $d$ ：

a n s = \sum_{d = 1}^{n} d \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} [g c d (i, j) = d]

$ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=d]$

日常提出 $d$ ：

a n s = \sum_{d = 1}^{n} d \sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{d} ⌋} \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{n}{d} ⌋} [g c d (i, j) = 1]

$ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[gcd(i,j)=1]$

又是日常替换 $[gcd(i,j)=1]$ ：

a n s = \sum d = 1 n d \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ \sum j = 1 ⌊ n d ⌋ \sum d' | g c d (i, j) μ (d')

$ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{d'|gcd(i,j)}\mu(d')$

日常先枚举 $d'$ ：

a n s = \sum d = 1 n d \sum d' = 1 n μ (d') \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ \sum j = 1 ⌊ n d ⌋ [d' | g c d (i, j)]

$ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{d'=1}^n\mu(d')\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[d'|gcd(i,j)]$

再直接枚举 $d'$ 的倍数：

a n s = \sum d = 1 n d \sum d' = 1 n μ (d') \sum i = 1 ⌊ n d d ' ⌋ \sum j = 1 ⌊ n d d ' ⌋

$ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{d'=1}^n\mu(d')\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{dd'}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{dd'}\rfloor}$

a n s = \sum d = 1 n d \sum d' = 1 n μ (d') ⌊ n d d ' ⌋ ⌊ n d d ' ⌋

$ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{d'=1}^n\mu(d')\lfloor\frac{n}{dd'}\rfloor\lfloor\frac{n}{dd'}\rfloor$

设 $T=dd'$ ，代入，直接枚举 $T$ ：

a n s = \sum_{T = 1}^{n} \sum_{d | T} d μ (\frac{T}{d}) ⌊ \frac{n}{T} ⌋ ⌊ \frac{n}{T} ⌋

$ans=\sum_{T=1}^n\sum_{d|T}d\mu(\frac{T}{d})\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{n}{T}\rfloor$

由 $\sum_{d|T}d\mu(\frac{T}{d})\Leftrightarrow \varphi(T)$ 得：

a n s = \sum T = 1 n φ (T) ⌊ n T ⌋ ⌊ n T ⌋

$ans=\sum_{T=1}^n\varphi(T)\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{n}{T}\rfloor$

那么直接线筛 $\varphi(x)$ ，求前缀和，乖乖 $\mathcal{AC}$ ？？

然而并没有那么简单，我们多算了 $i=j$ 的情况，并且 $gcd(i,j)$ 与 $gcd(j,i)$ 被重复计算，需要除以 $2$ 。

代码

记得开 $\mathcal{long\ long}$ 。

#include<bits/stdc++.h>
#define R register int
#define ll long long
using namespace std;
const int M=2e6+5,N=2e6;
int p[M],n;
ll phi[M];
bool check[M];
void get()
{
    R i,j,t;
    check[1]=phi[1]=1;
    for(i=2;i<=N;++i)
    {
        if(!check[i])p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;
        for(j=1;j<=p[0];++j)
        {
            t=i*p[j];if(t>N)break;
            check[t]=1;
            if(i%p[j]==0){phi[t]=phi[i]*p[j];break;}
            phi[t]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
        phi[i]+=phi[i-1];
    }
}
void in(){get();scanf("%d",&n);}
void ac()
{
    R l,r;long long ans=0;
    for(l=1;l<=n;l=r+1)r=n/(n/l),ans+=1ll*(phi[r]-phi[l-1])*(n/l)*(n/l);
    printf("%lld",(ans-1ll*n*(n+1)/2)/2);
}
int main()
{
    in();ac();
    return 0;
}