【51nod】最大公约数之和（简单数论或者积性）

给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6
1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15
Input
1个数N(N <= 10^9)
Output
公约数之和
Input示例
6
Output示例
15
思路：先转化成数学公式：

$$ans=\sum_{i=1}^ngcd(i,n)$$
肯定不能一一枚举转而去枚举数量较小的gcd： $$ans=\sum_{d|n}d*\sum_{i=1}^ngcd(i,n)=d\\ =\sum_{d|n}d*\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}gcd(i,\frac{n}{d})=1$$
很显然，里面就是个欧拉函数所以就是： $$ans=\sum_{d|n}d*\phi(\frac{n}{d})$$
到这里我们有做法一：
就可以暴力一点去枚举这个$d$就可以了，计算一下欧拉函数，也是可以ac的，这是
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ull  unsigned long long
#define ll long long
#define ul unsigned int
#define maxn 40000
using namespace std;
bool isP[maxn];
int prime[maxn];
int cnt;
void init()
{
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!isP[i])prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;j<cnt&&(ll)i*prime[j]<maxn;j++)
        {
            isP[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}
int fac[30];
int e[30];
int k;
void getFac(int n)
{
    k=0;
    for(int i=0;(ll)prime[i]*prime[i]<=n;i++)
    {
        if(n%prime[i]==0)
        {
            fac[k]=prime[i];
            e[k]=0;
            while(n%prime[i]==0)
            {
                n/=prime[i];
                e[k]++;
            }
            k++;
        }
    }
    if(n>1){fac[k]=n;e[k++]=1;}
}
int phi(int x)
{
    int ans=x;
    for(int i=0;(ll)prime[i]*prime[i]<=x;i++)
    {
        if(x%prime[i]==0)
        {
            ans=ans/prime[i]*(prime[i]-1);
            while(x%prime[i]==0)x/=prime[i];
        }
    }
    if(x>1)ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}
int n;
ll ans=0;
void dfs(int cur,int temp)
{
    if(cur==k)
    {
        ans+=temp*phi(n/temp);
        return;
    }
    dfs(cur+1,temp);
    int now=temp;
    for(int i=1;i<=e[cur];i++)
    {
        now*=fac[cur];
        dfs(cur+1,now);
    }
}
int main()
{

    init();
    cin>>n;
    getFac(n);
    dfs(0,1);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

做法二：
我们发现这个$ans$其实是一个狄利克雷卷积的形式，两个卷积函数显然是积性，所以卷积也是积性，我们设这个$ans$为$f$
我们来观察一下$f(p^k)$，p为质数，观察是否可以直接计算：

$$f(p^k)=\sum_{i=0}^kp^i\phi(p^{k-i})$$
发现前k向的值其实都是一样的，均为$p^k-p^{k-1}$,最后一项为$p^k$
所以 $$f(p^k)=(k+1)p^k-kp^{k-1}$$ ;
那么现在就只要把一个数唯一分解掉，这题就做完了，
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ull  unsigned long long
#define ll long long
#define ul unsigned int
#define maxn 40000
using namespace std;
bool isP[maxn];
int prime[maxn];
int cnt;
void init()
{
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!isP[i])prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;j<cnt&&(ll)i*prime[j]<maxn;j++)
        {
            isP[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}
int fac[30];
int e[30];
int k;
void getFac(int n)
{
    k=0;
    for(int i=0;(ll)prime[i]*prime[i]<=n;i++)
    {
        if(n%prime[i]==0)
        {
            fac[k]=prime[i];
            e[k]=0;
            while(n%prime[i]==0)
            {
                n/=prime[i];
                e[k]++;
            }
            k++;
        }
    }
    if(n>1){fac[k]=n;e[k++]=1;}
}
ll P(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans*=a;
        b>>=1;
        a*=a;
    }
    return ans;
}
int n;
ll solve()
{
    ll ans=1;
    for(int i=0;i<k;i++)
        ans*=(e[i]+1)*P(fac[i],e[i])-e[i]*P(fac[i],e[i]-1);
    return ans;
}
int main()
{

    init();
    cin>>n;
    getFac(n);
    cout<<solve()<<endl;
    return 0;
}