【luogu 1390】公约数的和

最新推荐文章于 2022-03-07 20:10:52 发布

Kvrmnks

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分类专栏：数学

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本文解析了一道关于求最大公约数之和的数论竞赛题目，通过转换枚举方式优化算法，采用筛选法预处理欧拉函数，最终实现高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

有一天，TIBBAR和LXL比赛谁先算出1~N这N个数中每任意两个不同的数的最大公约数的和。LXL还在敲一个复杂而冗长的程序，争取能在100s内出解。而TIBBAR则直接想1s秒过而获得完胜，请你帮他完成这个任务。

输入输出格式

输入格式：
共一行，一个正整数N。

输出格式：
共一行，一个数，为1~N这N个数中每任意两个不同的数的最大公约数的和。

输入输出样例

输入样例#1：
10
输出样例#1：
67
说明

对于40%的数据，2≤N≤2000.

对于100%的数据，2≤N≤2000000.
以此题祭我小学生般的数论水平
显而易见，这道题让我们求这个

\sum i = n 1 \sum j = i - 1 1 g c d (i, j)

$\Large\sum_{i=n}^{1}\sum_{j=i-1}^{1}gcd(i,j)$

显 然 有 O (n 2) 的 做 法 ， 然 而 没 什 么 用

$\Large显然有O(n^2)的做法，然而没什么用$

我 们 考 虑 一 下 怎 么 优 化 。

$\Large我们考虑一下怎么优化。$

我 们 来 考 虑 一 下 后 半 部 分 怎 么 化 简 ， 我 们 可 以 从 枚 举 i 和 j ， 转 换 为 枚 举 g c d 的 值 ， 我 们 可 以 设 g c d (i, j) = k 所 以 k 一 定 是 i 的 因 数 ， 那 么 我 们 设 g (i, k) 为 \sum j = i - 1 1 g c d (i, j) = k 的 j 的 个 数 我 们 再 想 一 下 g 函 数 怎 么 求 g c d (i, j) = k 等 价 于 是 g c d (⌊ i k ⌋, ⌊ j k ⌋) = 1 那 么 ⌊ j k ⌋ 的 个 数 = φ (⌊ i k ⌋) 那 么 我 们 的 式 子 就 成 了 \sum i | | (i 是 n 的 因 数) φ (⌊ i k ⌋) * i φ 函 数 可 以 筛 出 来 ， 同 理 因 为 i 是 n 的 因 数 ， 我 们 也 可 以 筛 出 来

$\Large我们来考虑一下后半部分怎么化简，我们可以从枚举i和j，转换为枚举gcd的值，\\\Large我们可以设gcd(i,j)=k\\\Large所以k一定是i的因数，那么我们设g(i,k)为\\\Large\sum_{j=i-1}^1gcd(i,j)=k的j的个数\\\Large我们再想一下g函数怎么求\\\Large gcd(i,j)=k等价于是gcd(\biggl\lfloor\frac{i}{k}\biggr\rfloor,\biggl\lfloor\frac{j}{k}\biggr\rfloor)=1\\\Large 那么\biggl\lfloor\frac{j}{k}\biggr\rfloor的个数=\varphi(\biggl\lfloor\frac{i}{k}\biggr\rfloor)\\\Large那么我们的式子就成了\\\Large\sum_{i||(i是n的因数)}\varphi(\biggl\lfloor\frac{i}{k}\biggr\rfloor)*i\\\Large\varphi函数可以筛出来，同理因为i是n的因数，我们也可以筛出来$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2000005;
typedef long long ll;
int prime[150000],euler[maxn],cntForPrime,n;
ll f[maxn];
bool isNP[maxn];
void initE()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!isNP[i])
        {
            prime[++cntForPrime]=i;
            euler[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cntForPrime;j++)
        {
            if(i*prime[j]<=n)
            {
                isNP[i*prime[j]]=1;
                if(i%prime[j]==0)
                {
                    euler[i*prime[j]]=euler[i]*prime[j];
                    break;
                }
                else
                {
                    euler[i*prime[j]]=(prime[j]-1)*euler[i];
                }
            }
            else
            {
                break;
            }
        }
    }
}
void debug(ll *arr,int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<arr[i]<<" ";
    }
    cout<<"\n";
}

void init()
{
    cin>>n;
    initE();
//  debug(euler,n);
    //debug(euler,n);
}
void solve()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i;j<=n;j+=i)
        {
            f[j]+=euler[j/i]*i;
        }
    }
}
int main()
{
    init(); 
    solve();
    //debug(f,n);
    ll sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)sum+=f[i];
    cout<<sum;
    return 0;
}