【HDU】5451 Best Solver（2015 ACM/ICPC Shenyang Online）

Best Solver

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题目链接

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题目大意

    求该式的整数部分mod m的值：

$$y=(5+2\sqrt6)^{1+2^x}$$

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题解

    构造如下式子：

$$f_n=(5+2\sqrt6)^{n}+(5-2\sqrt6)^{n}$$
    可见fn为整数，又因为等式后面的一项小于1，所以y的整数部分就是fn-1，我们现在求得x就行了。
    根据该等式，联想特征根方程，我们知道：
$$f_n=Af_{n-1}+Bf_{n-2}$$
构造特征根方程求得A,B，然后就有fn的递推式了，因为m很小，所以我们现在求关于求m的周期就行了。

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代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define LL long long
#define MOD 47000

using namespace std;

LL x,m,f[MOD+5];
int T;

LL circle()
{
    for (int i=3; ;i++)
    {
        f[i]=(10*f[i-1]-f[i-2]+m*m)%m;
        if (f[i]==f[2] && f[i-1]==f[1]) return i-2;
    }
}

LL pow_mod(LL a,LL b,LL mod)
{
    LL ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=(ans*a)%mod;
        b>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return (ans+1)%mod;
}

int main()
{
    int Case=1;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d",&x,&m);
        f[0]=2%m; f[1]=10%m; f[2]=98%m;
        LL mi,t;
        t=circle();
        mi=pow_mod(2,x,t);
        printf("Case #%d: %I64d\n",Case++,(f[mi]-1+m)%m);
    }
    return 0;
}