【动态规划】JZOJ_6311 luogu_5307 Mobitel

本文探讨了在一个给定的矩阵中，寻找所有路径上数的乘积不小于特定值n的路径总数的问题。通过先计算乘积小于n的方案数，再进行优化，将时间复杂度从O(rsn)降低到O(rs√n)。文章提供了详细的算法思路和C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给出一个 $r * s$ 的矩阵，每个格子里有一个数。
每次可以向下或向右移动，求经过路径上所有数乘积不小于n的路径总数。

思路

考虑求出小于 $n$ 的方案数

设 $f_{i,j,k}$ 为走到点 $(i, j)$ ，乘积为k的方案数，转移显然，时间复杂度 $O (r s n)$ 。

优化，设 $f_{i,j,k}$ 为走到点 $(i, j)$ ，乘至少为k使得路径上乘积为 $n - 1$

发现k最多有 $n\sqrt{n}$ 个，时间复杂度 $O(rsn)O(rs\sqrt{n})$ 。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define file(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)

const int p = 1e9 + 7;

int r, s, n, cnt;
int block[2001], rev[1000001], a[301][301], f[2][301][2001], c[301][301];

int main() {
	//file(mobitel);
	scanf("%d %d %d", &r, &s, &n);
	n--;
	for (int i = 1; i <= r; i++)
		for (int j = 1; j <= s; j++)
			scanf("%d", &a[i][j]);
	for (int l = 1, k; l <= n; l = k + 1) {
		k = n / (n / l);
		block[++cnt] = n / l;
		rev[n / l] = cnt;
	}
	f[1][1][rev[n / a[1][1]]] = 1;
	for (int i = 1; i <= r; i++) {
		memset(f[(i & 1) ^ 1], 0, sizeof(f[(i & 1) ^ 1]));
		for (int j = 1; j <= s; j++)
			for (int k = 1; k <= cnt; k++) {
				if (i < r) (f[(i & 1) ^ 1][j][rev[block[k] / a[i + 1][j]]] += f[i & 1][j][k]) %= p;
				if (j < s) (f[i & 1][j + 1][rev[block[k] / a[i][j + 1]]] += f[i & 1][j][k]) %= p;
			}
	}
	int ans = 0;
	c[1][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= r; i++)
		for (int j = 1; j <= s; j++)
			(c[i][j] += c[i - 1][j] + c[i][j - 1]) %= p;
	for (int i = 1; i <= cnt; i++)
		(ans += f[r & 1][s][i]) %= p;
	printf("%d", (c[r][s] - ans + p) % p);
}