【凸壳 分层图 最短路】JZOJ_3238 BZOJ_3482 [COCI2013]hiperprostor

题意

一张图，上面有些边可能为$x$，$x$不是一个固定的值。每次询问给出$A$和$B$，求出最短路不同的可能值的数目和它们的总和。如果不同的可能值的数目是无限的，该行只输出$inf$。如果没有从$A$到$B$的路径，不同的可能值的数目及它们的总和都是$0$。
。

思路

先分层图跑出$f_i$代表经过$i$条$x$边的最短路。
对于第一问，判断一下求出的$f$就好了。

对于第二问：
经过$i$条$x$边代价为$f_i+i\ast x$
把$y=f_i+i\ast x$扔到坐标系，可以发现当$x$不同时，到最短路经过的$x$边数也不同，由于是最短路，所以我们在坐标系中对每个$x$取$y$最小的情况，发现是个上凸壳，单调栈维护一下，对凸壳中两个交点，答案贡献为$f[i]+ix(x$从一个点到另一个点$)$，用等差数列搞一搞。

代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>

const int inf = 707406378;
int n, m, tot, s, t;
int dis[501][501], vis[501][501], stack[501];
int ver[10001], next[10001], edge[10001], head[501];
double p[501];

struct heap{
    int u, dis, used;
};

bool operator <(const heap &a, const heap &b) {
	return a.dis > b.dis;
}

int read() {
	int res = 0, f = 1;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		if (ch == '-') f *= -1;
		if (ch == 'x') return 0;
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') res = (res << 3) + (res << 1) + ch - '0', ch = getchar();
	return res;
}

void add(int u, int v, int w) {
	ver[++tot] = v;
	next[tot] = head[u];
	edge[tot] = w;
	head[u] = tot;
}

void dijkstra() {
	std::priority_queue<heap> q;
	memset(dis, 127 / 3, sizeof(dis));
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	dis[s][0] = 0;
	q.push((heap){s, 0, 0});
	while (q.size()) {
		int u = q.top().u, rk = q.top().used;
		q.pop();
		if (vis[u][rk]) continue;
		vis[u][rk] = 1;
		for (int i = head[u]; i; i = next[i]) {
			int v = ver[i];
			if (rk < n && !vis[v][rk + 1] && dis[v][rk + 1] > dis[u][rk] && !edge[i]) dis[v][rk + 1] = dis[u][rk], q.push((heap){v, dis[v][rk + 1], rk + 1});
			if (!vis[v][rk] && dis[v][rk] > dis[u][rk] + edge[i] && edge[i]) dis[v][rk] = dis[u][rk] + edge[i], q.push((heap){v, dis[v][rk], rk});
		}
	}
}

double get(int x, int y) {
	return (double)(dis[t][x] - dis[t][y]) / (y - x);
}

long long add(int k, int b, int l, int r) {
	return (long long)(k * (l + r) + b * 2) * (r - l + 1) >> 1;
}

int main() {
	n = read();
	m = read();
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x = read(), y = read(), z = read();
		add(x, y, z);
	}
	for (int q = read(); q; q--) {
		s = read();
		t = read();
		dijkstra();
		int flag = 0;
		for (int i = 0; i <= n; i++)
			if (dis[t][i] != inf) {
				flag = 1;
				break;
			}
		if (!flag) {
			printf("0 0\n");
			continue;
		}
		if (dis[t][0] == inf) {
			printf("inf\n");
			continue;
		}
		int top = 0;
		for (int i = n; i >= 0; i--) {
			if (dis[t][i] == inf) continue;
			while (top && p[top] >= get(stack[top], i)) top--;
			if (top) p[top + 1] = get(stack[top], i);
			stack[++top] = i;
		}
		int sum = p[top];
		long long ans = 0;
		for (int i = 1; i < top; i++) ans += add(stack[i], dis[t][stack[i]], (int)p[i] + 1, (int)p[i + 1]);
		if (sum * stack[top - 1] + dis[t][stack[top - 1]] != dis[t][0] || top == 1) ans += dis[t][0], sum++;
		printf("%d %lld\n", sum, ans);
	}
}