【上下界网络流】LOJ_117 有源汇有上下界最小流

最新推荐文章于 2024-02-22 00:39:16 发布

nymph181

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分类专栏：网络流文章标签：上下界网络流有源汇有上下界最小流

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本文介绍了一种解决网络流问题中的最小流问题的方法。通过构建一个有上下界约束的网络流模型，首先找到一个可行流，然后从汇点向源点寻找最大流，以此来减少s-t方向的流，最终求得最小流。代码示例展示了如何使用Dinic算法实现这一过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

$n$ 个点， $m$ 条边，每条边 $e$ 有一个流量下界lower(e)和流量上界upper(e)，给定源点 $s$ 与汇点 $t$ ，求源点到汇点的最小流。

思路

同求有上下界最大流的方法，先求出有源汇有上下界的可行流。

在网络流的算法中， $u - v$ 这条边的流量增加等于 $v - u$ 流量减少，所以我们可以从 $t$ 向 $s$ 跑最大流，找出一条可行流，相当于顺着从这条路上减去那么多流量。( $t - s$ 最大流其实是尽量缩减 $s - t$ 方向的流)。

代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

const int inf = 1 << 29, N = 50010, M = 125010;
int n, m, s, t, lower, upper, ss, tt, tot = 1;
int edge[(N + M) * 2], head[N], next[(N + M) * 2], ver[(N + M) * 2], dep[N], d[N];
std::queue<int> q;

void add(int x, int y, int z) {
	ver[++tot] = y;
	edge[tot] = z;
	next[tot] = head[x];
	head[x] = tot;
	
	ver[++tot] = x;
	edge[tot] = 0;
	next[tot] = head[y];
	head[y] = tot;
}

bool bfs(int st, int en) {
	memset(dep, 0, sizeof(dep));
	while (q.size()) q.pop();
	q.push(st);
	dep[st] = 1;
	while (q.size()) {
		int x = q.front();
		q.pop();
		for (int i = head[x]; i; i = next[i]) {
			if (edge[i] && !dep[ver[i]]) {
				q.push(ver[i]);
				dep[ver[i]] = dep[x] + 1;
				if (ver[i] == en) return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

int dfs(int x, int en, int flow) {
	if (x == en) return flow;
	int rest = flow, k;
	for (int i = head[x]; i && rest; i = next[i])
		if (edge[i] && dep[ver[i]] == dep[x] + 1) {	
			k = dfs(ver[i], en, std::min(rest, edge[i]));
			if (!k) dep[ver[i]] = 0;
			edge[i] -= k;
			edge[i ^ 1] += k;
			rest -= k;
		}
	return flow - rest;
}

int dinic(int st, int en) {
	int res = 0, flow = 0;
	while (bfs(st, en))
		while (flow = dfs(st, en, inf)) res += flow;
	return res;
}

int main() {
	scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &t);

	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		scanf("%d %d %d %d", &ss, &tt, &lower, &upper);
		d[ss] -= lower;
		d[tt] += lower;
		add(ss, tt, upper - lower);
	}
	ss = 0;
	tt = n + 1;
	int all = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (d[i] > 0) add(ss, i, d[i]), all += d[i];
		else add(i, tt, -d[i]);
	}
	add(t, s, inf);
	int flow = 0, maxflow = 0;
	if (dinic(ss, tt) != all) {
		printf("please go home to sleep");
		return 0;
	}
	maxflow = edge[tot];
	edge[tot] = edge[tot ^ 1] = 0;
	printf("%d", maxflow - dinic(t, s));
}