【RMQ 枚举暴力】JZOJ_3895 数字对

nymph181

于 2019-01-26 07:52:04 发布

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分类专栏：基础文章标签： RMQ 线段树

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本文探讨了一种寻找序列中满足特定整除条件的最长区间及其数量的算法。通过优化枚举过程，采用记录边界扩展长度的方法，实现O(n)时间复杂度。介绍了暴力解法与优化后的解法，并分享了利用RMQ加二分答案的正解思路。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给出一个序列，找出区间 $[l, r]$ ，满足 $ak{l≤k≤r}a_k\{l\leq k \leq r\}$ 能整除这个序列上所有的数，求出 $r - l$ 的最大值以及这个长度的区间个数以及每个区间的 $l$ ，按升序输出。

思路

我一开始想到了线段树，然后没有想到二分答案去找区间长度，然后打了个暴力。

枚举 $k$ ，然后向两边扩展，这样的时间复杂度是 $O (n * a n s)$ 的，有一个优化就是记录每个 $k$ 往左边最多扩展的长度，那么如果当前 $a_k$ 能整除 $a_{k-1}$ ，那么 $a_{k-1}$ 的扩展了的数也必然能整除 $a_k$ ，时间复杂度貌似是 $O (n)$ 。

我们就可以类似这样的优化，每次可以快速的求出 $k$ 的往最左边的点，然后计算答案。

当然，这道题貌似是随机数据，所以答案不会很大，不加优化也能过。

正解是 $R M Q$ 加二分答案。我们可以发现一个性质，如果区间中最小的数等于区间的 $g c d$ ，那么这个区间就可以作为答案。 $R M Q$ 维护最小数以及 $g c d$ ，然后枚举起点二分长度就好了。

代码

#include<cstdio>
#include<vector>

std::vector<int> L, R;
int n, val, num;
int a[300001], vl[300001], vr[300001];

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int l, r;
		for (l = i - 1; l >= 0; l--)
			if (a[l] < a[i] || a[l] % a[i]) break;
		l++;
		for (r = i + 1; r <= n + 1; r++)
			if (a[r] < a[i] || a[r] % a[i]) break;
		r--;
		if (r - l >= val && (!vl[l] || !vr[r])) {
			L.push_back(l);
			R.push_back(r);
			vl[l] = 1;
			vr[r] = 1;
			val = r - l;
		}
	}
	for (int i = 0; i < L.size(); i++)
		if (R[i] - L[i] == val)	num++;
	printf("%d %d\n", num, val);
	for (int i = 0; i < L.size(); i++)
		if (R[i] - L[i] == val) printf("%d ", L[i]);
}