【BST 中序 LIS】JZOJ_3894 洛谷_3365 改造二叉树

题意

给出一棵二叉树，它每个节点上的权值都是整数，我们可以把一个节点上的值任意修改，算作一次修改。求出把这棵二叉树变成$BST$的最少修改次数。

思路

根据题目的性质，$BST$的左孩子$<$根$<$右孩子，能容易发现它的中序遍历应该是一个严格递增的序列。

我们求出给出的二叉树的中序遍历，考虑如何修改最少的点使得这个序列严格递增。那么要修改最少的点，就应该让最多的点不被修改，这就变成了求最长上升子序列。

这里举一个例子，如果树的中序遍历为：
$1231456$
求出来的最长上升子序列为$123456$，只有$1$个点不用修改，可题目中说了每个节点上的值都是正整数，那么我们在$dp$的时候，条件应该从：
$$a_j<a_i$$
改成：
$$a_j+i-j-1<a_i$$
使得从$a_j$开始填连续上升的一段数后，终点是$<a_i$的。
这样开始$dp$时间复杂度为$O(n^2)$，只有$60$分。

不过改写一下条件可以变成：
$$a_j+i-j\le a_i$$
$$a_j-j\le a_i-i$$

我们就可以一开始让$a_i$减去$i$，然后用$O(nlogn)$的算法求$LIS$就好了。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>

int n, tot;
int a[100001], lson[100001], rson[100001], dfn[100001], f[100001];

void dfs(int p) {
	if (lson[p]) dfs(lson[p]);
	dfn[++tot] = a[p];
	if (rson[p]) dfs(rson[p]);
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		int fa, ch;
		scanf("%d %d", &fa, &ch);
		if (!ch) lson[fa] = i;
		else rson[fa] = i;
	}
	dfs(1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) dfn[i] -= i;
	int len = 1;
	f[1] = dfn[1];
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (dfn[i] >= f[len]) f[++len] = dfn[i];
		else f[std::upper_bound(f + 1, f + len + 1, dfn[i]) - f] = dfn[i];
	}
	printf("%d", n - len);
}