【线段树 数学】JZOJ_4231 寻找神格

题意

给出一个数列，我们对它进行操作。
输入操作符$t$
1、当$t=0$时，这一行还有两个数$a$，$b$，表示编号为$a$的部落增加了$b$个人（如果$b<0$则表示减少了$|b|$个人）。
2、当$t=1$时，这一行还有三个数$a，b，c$，表示编号为$a\sim b$的部落增加了$c$个人（如果$c<0$则表示减少了$|c|$个人）。
3、当$t=2$时，这一行还有两个数$a，b，$表示神格询问了编号为$a\sim b$的部落现在的总人数。
4、当$t=3$时，这一行还有两个数$a，b，$表示神格询问了编号为$a\sim b$的部落人数的方差。
方差：如果这些数的平均数是$ave$，那么它们的方差是$\frac{(x_1-ave{)}^2+(x_2-ave{)}^2+\cdots +(x_{n-1}-ave{)}^2+(x_n-ave{)}^2}{n}$。

思路

前三个操作是线段树的基础操作，我们着重处理第四个操作。
因为分母就是$n$，所以我们看分子，把它拆成，
$x{1}^2-2\ast x1\ast ave+av{e}^2+x{2}^2-2\ast x2\ast ave+av{e}^2+...+x{n}^2-2\ast xn\ast ave+av{e}^2$
然后就可以变成，
$(x{1}^2+x{2}^2+...+x{n}^2)-2(x1+x2+...+xn)ave+(数的个数)av{e}^2$
因为我们的线段树维护了区间和，也可以求出区间平均值，那么我们还需要维护它们的平方和，那么如果区间操作了我们的平方和该怎么维护呢？
假设一开始我们的平方和为$a^2+b^2+c^2...$，如果我们给这个区间加上$x$，就变成$(a+x{)}^2+(b+x{)}^2+(c+x{)}^2...$，我们又可以拆成，
$a^2+2ax+x^2+b^2+2bx+x^2+c^2+2cx+x^2$，可以发现比原来的平方和多了
$2(a+b+c)x+(数的个数)x^2$，然后我们就可以直接敲线段树了。

代码

#include<cstdio>

struct node{
	long long l, r, sum, add, pfh;
}tree[400001];
int n, q;
int a[100001];

void build(int p, int l, int r) {
	tree[p].l = l;
	tree[p].r = r;
	if (l == r) {
		tree[p].sum = a[l];
		tree[p].pfh = a[l] * a[l];
		return;
	}
	int mid = (l + r) / 2;
	build(p * 2, l, mid);
	build(p * 2 + 1, mid + 1, r);
	tree[p].sum = tree[p * 2].sum + tree[p * 2 + 1].sum;
	tree[p].pfh = tree[p * 2].pfh + tree[p * 2 + 1].pfh;
}

void spread(int p) {
	if (tree[p].add) {
		tree[p * 2].add += tree[p].add;
		tree[p * 2 + 1].add += tree[p].add;
		tree[p * 2].pfh += 2 * tree[p * 2].sum * tree[p].add + (tree[p * 2].r - tree[p * 2].l + 1) * tree[p].add * tree[p].add;
		tree[p * 2 + 1].pfh += 2 * tree[p * 2 + 1].sum * tree[p].add + (tree[p * 2 + 1].r - tree[p * 2 + 1].l + 1) * tree[p].add * tree[p].add;
		tree[p * 2].sum += tree[p].add * (tree[p * 2].r - tree[p * 2].l + 1);
		tree[p * 2 + 1].sum += tree[p].add * (tree[p * 2 + 1].r - tree[p * 2 + 1].l + 1);
		tree[p].add = 0;
	}
}

void change(int p, int l, int r, int v) {
	if (l <= tree[p].l && tree[p].r <= r) {
		tree[p].pfh += 2 * tree[p].sum * v + (tree[p].r - tree[p].l + 1) * v * v; 
		tree[p].sum += v * (tree[p].r - tree[p].l + 1);
		tree[p].add += v;
		return;
	}
	spread(p);
	int mid = (tree[p].l + tree[p].r) / 2;
	if (l <= mid) change(p * 2, l, r, v);
	if (r > mid) change(p * 2 + 1, l, r, v);
	tree[p].sum = tree[p * 2].sum + tree[p * 2 + 1].sum;
	tree[p].pfh = tree[p * 2].pfh + tree[p * 2 + 1].pfh;
}

long long ask(int p, int l, int r) {
	if (l <= tree[p].l && tree[p].r <= r)
		return tree[p].sum;
	spread(p);
	int mid = (tree[p].l + tree[p].r) / 2;
	long long result = 0;
	if (l <= mid) result += ask(p * 2, l, r);
	if (r > mid) result += ask(p * 2 + 1, l, r);
	return result;
}

long long askpfh(int p, int l, int r) {
	if (l <= tree[p].l && tree[p].r <= r)
		return tree[p].pfh;
	spread(p);
	int mid = (tree[p].l + tree[p].r) / 2;
	long long result = 0;
	if (l <= mid) result += askpfh(p * 2, l, r);
	if (r > mid) result += askpfh(p * 2 + 1, l, r);
	return result;
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &q);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	build(1, 1, n);
	int op, x, y, z;
	for (; q; q--) {
		scanf("%d", &op);
		if (op == 0) {
			scanf("%d %d", &x, &y);
			change(1, x, x, y);
		} else if (op == 1) {
			scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
			change(1, x, y, z);
		} else if (op == 2) {
			scanf("%d %d", &x, &y);
			printf("%d\n", ask(1, x, y));
		} else if (op == 3) {
			scanf("%d %d", &x, &y);
			long long s1 = askpfh(1, x, y);
			long long s2 = ask(1, x, y);
			double pjs = (double)s2 / (y - x + 1);
			double s3 = s1 - 2 * s2 * pjs + (y - x + 1) * pjs * pjs;
			printf("%.10lf\n", s3 / (y - x + 1));
		}
	}
}