电路笔记(信号)：Barkhausen 准则（振荡条件）& |H(jW)|＞1的震荡 & 极点

Barkhausen 准则（振荡条件）

• 判断线性连续系统是否会发生自激振荡。如果反馈回来的信号大小等于输入，并反向（180°），将不断放大，形成振荡：

条件名称	数学表达	意义说明
幅度条件	|H(jω₀)| = 1	开环增益幅值为 1，振荡能维持
相位条件	∠H(jω₀) = 180° 或 −180°	总相移为 π（输入和输出反相）

• 所有物理器件（电阻、电容、晶体管）中都存在不可避免的热噪声、电压扰动。即使没有外部输入，系统也能依靠内部噪声，通过正反馈机制，实现规律的振荡输出。

• 一个基本的负反馈系统，如下图所示：

     +---------+     A(s)     +---------+
X(s) |         |------------->|         |------+
     |  输入   |              | 放大器  |       |
     +---------+              +---------+      |
           ^                                   |
           |              β(s)（反馈网络）      |
           +-----------------------------------+

系统的开环增益为：

$$H(s)=A(s)\cdot \beta (s)$$

系统的闭环增益为（经典负反馈公式）：

$$\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{A(s)}{1+A(s)\beta (s)}=\frac{A(s)}{1+H(s)}$$

• 振荡的系统在 无外部输入 X(s) = 0 情况下仍然输出非零信号 $Y(s)\ne 0$，即：

$$\frac{Y(s)}{X(s)}\to \infty \Rightarrow \text{分母为 0}\Rightarrow 1+H(s)=0$$

这就是振荡的起始条件（振荡发生时）：

$$\boxed{H(s)=-1}$$

• 将 $H(s)=A(s)\cdot \beta (s)$ 展开成复数形式：

$$H(j\omega )=|H(j\omega )|\angle \theta$$

• 那么 $H(j\omega )=-1$ ⇔ 模值为 1，角度为 180°，即：

$$\boxed{\{\begin{array}{l}|H(j{\omega }_0)|=1\\ \angle H(j{\omega }_0)=180^{\circ }\end{array}}$$

|H(jW)|>1的震荡

• 增益=零点距/极点距

$${\omega }_0上“闭环”增益：\frac{输出}{输入}=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{H(s)}{1+H(s)}$$

• 例如，当 $H(j{\omega }_0)=-2$ ，由简化公式得到 $\frac{Y}{X}=\frac{-2}{1-2}=2$ ⇒ 是有限增益
• 系统此时将输入反转并放大，但不会“起振”。所以 系统并不在 ω₀ 上振荡

• 无衰减系统的响应保持恒定的振荡幅度，极点位于虚轴上，但系统可能在某个 实部非零的复数频点 S₁ = σ + jω₁ 上满足：

$$H(s_1)=-1$$

$$1+H(s)=0\Rightarrow \text{系统极点}=s_1$$

• 若极点 $s_1$ 落在右半平面：Re(s) > 0，则系统自然会自激振荡；

• 自激增长振荡:且输出为指数增长的正弦波：

  $$y(t)\sim e^{\sigma t}\cdot \cos (\omega t+\varphi )$$

• 图像对比理解 【电路笔记 信号】极点的物理意义