【电路笔记 信号】极点的物理意义

图像总结

• 极点的具体位置为我们提供了关于系统行为的重要信息，有助于分析系统的频率响应、时间响应和稳定性：

• 极点的虚部决定了系统的振荡频率，即系统的自然频率。
• 极点的实部决定了系统的稳定性和阻尼特性。负实部表示稳定的衰减响应，正实部表示不稳定的发散响应，零实部则意味着没有阻尼，系统保持持续振荡。

RLC电路的微分方程

考虑一个典型的RLC串联电路，由一个电阻 $R$、电感 $L$ 和电容 ( C ) 组成。我们分析电路中的电流 $i(t)$ 和电压。

• 根据基尔霍夫电压定律（KVL），电路中的总电压等于各元件电压之和：
  $$V(t)=V_R(t)+V_L(t)+V_C(t)$$
  其中：

  • 电阻器的电压：根据欧姆定律，$V_R(t)=Ri(t)$，
  • 电感器的电压：根据法拉第电磁感应定律，$V_L(t)=L\frac{di(t)}{dt}$，
  • 电容器的电压：根据电容器的电压与电荷关系，$V_C(t)=\frac{1}{C}\int i(t)dt$。

• 所以，总电压为：
  $$V(t)=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}\int i(t)dt$$

• 取其导数得到：
  $$\frac{dV(t)}{dt}=R\frac{di(t)}{dt}+L\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}+\frac{1}{C}i(t)$$

• 如果存在一个外部电压源 $V_{\text{in}}(t)$，则该微分方程会变为（电压源的电压与电路中元件的电压降之和相等）：
  $$L\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}+R\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}i(t)=V_{\text{in}}(t)$$
  这也是一个典型的二阶线性时不变系统的微分方程。

拉普拉斯变换

对微分方程应用拉普拉斯变换。首先，拉普拉斯变换的基本规则是：

• 对于电流 $i(t)$，拉普拉斯变换是 $I(s)$。

• 对于电流的导数，拉普拉斯变换是：
  $$\mathcal{L}\left[\frac{d^{n}i(t)}{d{t}^n}\right]=s^{n}I(s)-s^{n-1}i(0)-\cdots -i^{(n-1)}(0)$$
  对于二阶导数，我们有：
  $$\mathcal{L}\left[\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}\right]=s^{2}I(s)-si(0)-i^{\prime }(0)$$
  假设初始条件为零，即 ( i(0) = 0 )，( i’(0) = 0 )，拉普拉斯变换变为：
  $$\mathcal{L}\left[\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}\right]=s^{2}I(s)$$

• 结果 给定的微分方程为：
  $$L\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}+R\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}i(t)=V_{\text{in}}(t)$$

• 现在，对原微分方程进行拉普拉斯变换：
  $$L\cdot s^{2}I(s)+R\cdot sI(s)+\frac{1}{C}I(s)=V_{\text{in}}(s)$$

• 其中 $V_{\text{in}}(s)$ 是输入电压的拉普拉斯变换。

$$R\cdot sI(s)=V_{\text{out}}(s)$$

变换结果分析

• 考虑一个串联RLC电路，其传递函数为(输出从电阻分压 https://blog.youkuaiyun.com/m0_55419117/article/details/136724222)：
  $$H(s)=\frac{1}{LC{s}^2+RCs+1}$$
• 极点的位置：通过求解特征方程 $LC{s}^2+RCs+1=0$，可以得到极点。极点的位置决定了系统的共振频率（虚部）和阻尼（实部）。例如，假设 $R=0$（理想电路），则系统的极点位于纯虚轴上，表示系统会在共振频率下持续振荡，且没有衰减。

无衰减振荡的情况

• 无衰减系统的响应保持恒定的振荡幅度，极点位于虚轴上。
• 得到的拉普拉斯变换形式是：

$$X(s)=\frac{1}{s^2+{\omega }_0^2}$$

• 拉普拉斯逆变换

• 这表示了一个理想的无阻尼振荡系统，它的极点位于 $s=\pm j{\omega }_0$（即虚轴上的两个共轭极点）。根据标准的拉普拉斯变换表，可以找到这个变换的逆：

$${\mathcal{L}}^{-1}\left(\frac{1}{s^2+{\omega }_0^2}\right)=\frac{\sin ({\omega }_{0}t)}{{\omega }_0}$$

• 假设系统的极点为 $s=j{\omega }_0$,如果有一个初始相位$\varphi$，则该响应如下：
  $$x(t)=A\cos ({\omega }_{0}t+\varphi )$$
  其中，$A$是振荡的幅度，${\omega }_0$是系统的自然频率，$\varphi$ 是初相位。

不稳定的情况

• 如果系统的极点具有正的实部（例如 $s=\sigma +j{\omega }_0$），系统的自然响应可能是：
  $$x(t)=A{e}^{\sigma t}\cos ({\omega }_{0}t+\varphi )$$
  其中，$A$ 是初始幅度，$\sigma$ 是正的实部，导致指数增长或减少。