本文深入解析切比雪夫不等式，讲解了如何通过期望和方差计算来理解其核心概念，并提供了直观的证明过程。重点探讨了如何利用这个不等式来估计随机变量偏离均值的可能性。
切比雪夫不等式
期望计算:
E
(
X
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
f
(
x
)
d
x
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx
E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx
方差(方差顾名思义:（与均值的）差的平方)计算:
D
(
X
)
=
∫
−
∞
+
∞
(
x
−
E
(
X
)
)
2
f
(
x
)
d
x
D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} (x-E(X))^2f(x)dx
D(X)=∫−∞+∞(x−E(X))2f(x)dx
D
(
X
)
=
E
2
(
X
)
−
E
(
X
2
)
D(X)=E^2(X)-E(X^2)
D(X)=E2(X)−E(X2)
切比雪夫不等式:
P
(
∣
x
−
E
(
x
)
∣
≥
ε
)
≤
D
(
x
)
ε
2
P(|x-E(x)|\geq ε)\leq \frac{D(x)}{ε^2}
P(∣x−E(x)∣≥ε)≤ε2D(x)
D
(
X
)
=
∫
−
∞
+
∞
(
x
−
E
(
X
)
)
2
f
(
x
)
d
x
≥
∫
∣
x
−
E
(
X
)
∣
≥
ε
(
x
−
E
(
X
)
)
2
f
(
x
)
d
x
≥
在
积
分
区
间
有
∣
x
−
E
(
X
)
∣
≥
ε
∫
∣
x
−
E
(
X
)
∣
≥
ε
ε
2
f
(
x
)
d
x
D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} (x-E(X))^2f(x)dx\geq\\ \int_{|x-E(X)|\geq ε } (x-E(X))^2f(x)dx\geq\\ 在积分区间有 |x-E(X)|\geq ε\\ \int_{|x-E(X)|\geq ε } ε ^2f(x)dx\\
D(X)=∫−∞+∞(x−E(X))2f(x)dx≥∫∣x−E(X)∣≥ε(x−E(X))2f(x)dx≥在积分区间有∣x−E(X)∣≥ε∫∣x−E(X)∣≥εε2f(x)dx
此切比雪夫不等式的证明参考
扫一扫
4358
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
