数理统计（二）——切比雪夫不等式、大数定理、伯努利定理、中心极限定理

最新推荐文章于 2025-03-07 20:40:52 发布

Vi_NSN

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分类专栏：概率论与数理统计文章标签：数理统计切比雪夫不等式大数定律伯努利定理中心极限定理

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本文介绍了数理统计中的重要概念，包括切比雪夫不等式，它阐述了随机变量的取值集中在期望附近的概率规律。接着详细解释了大数定理，表明在大量独立重复实验中，事件发生的频率趋于其概率。伯努利大数定理进一步说明了事件频率与概率的接近。最后，中心极限定理指出，独立同分布的随机变量之和趋向于正态分布，这对于理解和应用正态分布在各种实际问题中至关重要。

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                    切比雪夫不等式 
含义：设随机变量 X  X 的期望为
   
    μ
   
      μ
     
    ，方差为 σ2  σ 2 ，对于任意正数 ε  ε ，有： 
    P{
         |X−μ|≥ε}≤σ2ε2  P { | X − μ | ≥ ε } ≤ σ 2 ε 2  
  
切比雪夫不等式说明，X的方差越小，事件 {
        |X−μ|≤ε}  { | X − μ | ≤ ε } 的概率就越大。即： X  X 的取值基本上集中在期望
   
    μ
   
      μ
     
    附近。即方差越小，数据的震荡程度越小，数据分布越集中。
切比雪夫不等式的证明
 
大数定理 
含义：设随机变量