例一和例二

Example 1: The unit complex numbers group S^1

Our first example of Lie group, which is the easiest to visualize, is the group of unit complex numbers under complex multiplication (Fig. 3). Unit complex numbers take the form z = cos θ + isin θ.
– Action: Vectors x = x + iy rotate in the plane by an angle θ, through complex multiplication, x0 = zx.
– Group facts: The product of unit complex numbers is a unit complex number, the identity is 1, and the inverse is the conjugate z∗.
– Manifold facts: The unit norm constraint defines the unit circle in the complex plane (which can be viewed as the 1-sphere, and hence the name S1). This is a 1-DoF curve in 2-dimensional space. Unit complex numbers evolve with time on this circle. The group (the circle) ressembles the linear space (the tangent line) locally, but not globally.

$$\begin{gathered} S^1流形是平面C中的单位圆（蓝色），其中单位复数z^{\ast }z=1活。李代数s^1=T_E{S}^1是虚数线iR（红色），任何切空间TS1与线R（红色）同构。 \\ 切线向量（红色段）包裹流形创建圆弧（蓝色弧）。映射exp和log（箭头）将iR的元素映射（包裹和展开）到/来自S1（蓝色弧线）的元素。 \\ 单位复数之间的增量通过复合指数映射在切线空间中表示（为此我们将定义特殊运算符\oplus 和⊝）。解释见正文，类似组见图4。 \end{gathered}$$

我们最容易形象化的李群的第一个例子是复数乘法下的单位复数群（图 3）。 单位复数采用 z = cos θ + isin θ 的形式。
– Action：向量 x = x + iy 在平面中旋转角度 θ，通过复数乘法，x0 = zx。
– Group facts：单位复数的乘积为单位复数，单位为1，逆为共轭z∗。
– Manifold facts：单位范数约束定义了复平面中的单位圆（可以将其视为 1 球体，因此得名 S1）。 这是二维空间中的 1-DoF 曲线。 单位复数在这个圆上随时间演变。 该群（圆）在局部类似于线性空间（切线），但在全局上不相似。

Example 2: The unit quaternions group $S^3$

quaternion multiplication (Fig. 4).

Unit quaternions take the form q = cos(θ/2) + u sin(θ/2), with u = iux +juy + kuz a unitary axis and θ a rotation angle.

– Action: Vectors x = ix + jy + kz rotate in 3D space by an angle θ around the unit axis u through the double quaternion product x’ = q x q∗
– Group facts: The product of unit quaternions is a unit quaternion, the identity is 1, and the inverse is the conjugate q∗
– Manifold facts: The unit norm constraint defines the 3-sphere S^3
, a spherical 3-dimensional surface or manifold in 4-dimensional space. Unit quaternions evolve with time on this surface. The group (the sphere) ressembles the linear space (the tangent hyperplane R
3 ⊂ R4)locally, but not globally.

四元数乘法（图4）。

单位四元数的形式为 q = cos(θ/2) + u sin(θ/2)，其中 u = iux +juy + kuz 是单一轴，θ 是旋转角。

– 动作：向量 x = ix + jy + kz 在 3D 空间中通过双四元数积 x’ = q x q∗ 围绕单位轴 u 旋转角度 θ
– Group Facts：单位四元数的乘积为单位四元数，恒等式为1，逆为共轭q∗
– 流形事实：单位范数约束定义了 3 球体 S^3
，球面 3 维表面或 4 维空间中的流形。 单位四元数在这个表面上随时间演变。 群（球体）类似于线性空间（切线超平面 R
3 ⊂ R4) 局部，但不是全局。