拓扑空间的同伦等价+空间偶同伦等价

拓扑空间X,Y的同伦等价

回顾拓扑空间X,Y的同胚

$两个映射f与g满足：g\ast f=i{d}_x,f\ast g=i{d}_y$

将以上的等号改为同伦等价即可：
$$两个映射f与g满足：g\ast f\simeq i{d}_x,f\ast g\simeq i{d}_y$$

空间偶同伦等价

$$\begin{gathered} (X,A)\simeq (Y,B) \\ 有f:(X,A)\to (Y,B)与g:(Y,B)\to (X,A) \end{gathered}$$

例： R 2 / { 0 } 与 S 1 ( 出 去 源 点 的 平 面 与 单 位 圆 环 ) R^2/\{0\}与S^1(出去源点的平面与单位圆环) R2/{0}与S1(出去源点的平面与单位圆环)
首 先 有 f ( 为 i d ) : S 1 → R 2 / { 0 } g : 映 射 如 下    首先有f(为id):S^1\rightarrow R^2/\{0\}\\ g:映射如下 \ \ 首先有f(为id):S1→R2/{0}g:映射如下  

g ∗ f = i d f ∗ g = g , 在 R 2 / { 0 } 中 映 射 g 同 伦 于 i d 取 F ： R 2 / { 0 } × [ 0 , 1 ] → R 2 / { 0 } F ( ( r , θ ) , t ) → (    ( 1 − t ) ∗ r + t   , θ ) F ( ( r , θ ) , 0 ) → ( r , θ ) = i d ( r , θ ) F ( ( r , θ ) , 1 ) → ( 1 , θ ) = f ∗ g ( r , θ ) g*f=id\\ f*g=g,在R^2/\{0\}中映射g同伦于id\\ 取F：R^2/\{0\}×[0,1]\rightarrow R^2/\{0\} \\ F((r,\theta),t) \rightarrow (\ \ (1-t)*r+t \ ,\theta) \\ F((r,\theta),0) \rightarrow (r ,\theta)=id(r ,\theta)\\ F((r,\theta),1) \rightarrow (1 ,\theta)=f*g(r ,\theta) g∗f=idf∗g=g,在R2/{0}中映射g同伦于id取F：R2/{0}×[0,1]→R2/{0}F((r,θ),t)→(  (1−t)∗r+t ,θ)F((r,θ),0)→(r,θ)=id(r,θ)F((r,θ),1)→(1,θ)=f∗g(r,θ)

… . …- . -. -…- - .-- . -. - -.-- -…- – … -.
S 1 为 R 2 / { 0 } 的 收 缩 核 , 形 变 收 缩 核 S^1为R^2/\{0\}的收缩核,形变收缩核 S1为R2/{0}的收缩核,形变收缩核