映射同伦等价（一般的+空间偶的）

在数学中，同伦（Homotopy）的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。
两个拓扑空间如果可以通过一系列连续的形变从一个变到另一个，那么就称这两个拓扑空间同伦。

同伦等价的概念

$f,g:X\to Y给定的两个拓扑空间X和Y。考虑两个连续函数，若存在一个连续映射H：X\times 【0，1】\to Y使得$
$$\begin{gathered} \forall x\in X,H(x,0)=f(x), \\ \forall x\in X,H(x,1)=g(x). \end{gathered}$$
$则称f,g(在Y里)同伦。$

在所有的X到Y的映射组成的集合X^Y中， 同伦等价是个拓扑空间之间的等价关系，

https://www.knowpia.cn/pages/%E5%90%8C%E5%80%AB%E7%AD%89%E5%83%B9
等价关系就能做商集合，Y^X/~ : X到Y 的映射的同伦类集记为[X,Y]，

两个空间之间的映射有几个同伦的等价类

问:对于两个给定的空间，有几个同轮等价类？
$$\begin{gathered} [S^n,S^n]=Z \\ [S^3,S^2]=Z \\ [S^4,S^3]=Z/2(只有两个元素) \end{gathered}$$
但是低维到高维只有一个元素 常值映射 因为总是映不满的

（ps：同轮类之间还能定义运算）

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  例1：
  $$\begin{gathered} 设X是拓扑空间,S^n为n维球面，映射f,g:X\to S^n \\ s.t.\forall x\in X,f(x)\ne -g(x) \\ 则f\sim g(对径点变换的路径就不确定了，不好定义了) \end{gathered}$$
  

如果X到S^n的映射不满，则它一定等价与常值映射C_x
如果映到球面不满，则至少球面有一个孔，球就“爆了”
$比如说-x_0点映不到，\forall x\in X,f(x)\ne -x_0$

$考虑映射C_{x_0}:X\to S\forall x\in X，C_{x_0}(x)=x_0$
$满足f(x)\ne C_{x_0}(x)$
$所以f\sim C_{x_0}$

空间偶：

拓扑空间X和其子空间A,记为(X,A)，是一个空间偶

空间偶之间的映射：

$$\begin{gathered} 如果一个连续映射f:X\to Y还满足f(A)\subset B, \\ 即限制在A上时可以认为f:A\to B, \\ 那么我们也称这是一个空间偶之间的映射，记为f:(X,A)\to (Y,B). \end{gathered}$$

$对f,g:(X,A)\to (Y,B)如果存在F：X\times I\to Ys.t.$
$$F(x,0)=f(x),F(x,1)=g(x).$$
$$\begin{gathered} 且对任意a\in A,t\in I有F(a,t)\in B,则称空间偶的映射f与g同伦等价 \\ 记为f\simeq g(X,A)\to (Y,B) \end{gathered}$$

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特别地，A={x_0},B={y_0},称X,Y为带有基点的空间。