16、拓扑数据分析与同伦算法：从聚类到回归的深入探索

拓扑数据分析与同伦算法：从聚类到回归的深入探索

1. 拓扑数据分析中的Mapper算法

在拓扑数据分析（TDA）领域，Mapper算法是一种强大的聚类工具，用于挖掘数据中的子组结构。它通过多阶段过程实现聚类，结合了Morse理论和持久同调中的过滤概念，提供了一种基于拓扑的聚类方法。

1.1 Mapper算法步骤

• 过滤点云 ：使用称为Morse函数的标量值函数对数据点云进行过滤。
• 划分重叠区间 ：将过滤后的数据划分为重叠的区间（bins），以便观察具有不同Morse函数值的区域之间的潜在关系。
• 区间内聚类 ：在每个区间内进行聚类操作。
• 构建图或单纯复形 ：根据区间间聚类的重叠情况，将聚类结果连接成图或单纯复形。

以下是Mapper算法步骤的mermaid流程图：

graph LR
    A[过滤点云] --> B[划分重叠区间]
    B --> C[区间内聚类]
    C --> D[构建图或单纯复形]

在实际应用中，通常会在过滤之前对原始数据应用距离度量（如相关性、欧几里得距离、汉明距离等），以处理点云数据并创建更好的过滤函数。聚类距离度量数据集可以使用多种算法，但单链接层次聚类在实践中较为常用。

1.2 Mapper算法的优势