基本群性质：同胚不变量，同伦不变量

$$\begin{gathered} 基本群是(X,x_0)到{\pi }_1(X,x_0)的映射 \\ 设拓扑空间之间有映射f：(X,x_0)\to (Y,y_0) \\ 设\sigma 为X中的道路，则f\ast \sigma 为Y中的起点终点为y_0的闭路 \end{gathered}$$

$$f保持同轮$$
$$且两个基本群之间有映射记为f^{\ast }，可以证明f^{\ast }为群同态（需要证明映射保持乘法）$$
$$\begin{gathered} f^{\ast }满足（群映射的同态{用}^{\ast }号标出） \\ 1.对f:(X,x_0)\to (Y,y_0),g:(Y,y_0)\to (Z,z_0)有(g\ast f{)}^{\ast }=g^{\ast }\ast f^{\ast } \end{gathered}$$

$$2.由(X,x0)\to (X,x0)拓扑空间的恒等映射导出的，基本群的同态是恒等映射$$

$$\begin{gathered} 基本群是一个拓扑不变量(同胚不变量)即： \\ 若有同胚(X，x_0)\simeq (Y,y_0),则有同构{\pi }_1(X，x_0)\simeq {\pi }_1(Y,y_0) \end{gathered}$$
.— … -…- -… . -. -…- --.- …- -. -…- -… .- -…- …-. … …- . -…- – … -.

$$同伦不变量:如果两个拓扑空间同伦等价，则他们的基本群是同构的$$

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$$\begin{gathered} 如果两个映射f,g：(X，x_0)\to (Y,y_0)同伦等价 \\ 则群同态f^{\ast },g^{\ast }:{\pi }_1(X，x_0)\to {\pi }_1(Y,y_0)是相等的 \end{gathered}$$
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