集合等价类的个数-第二类Stirling数

本文介绍了第二类Stirling数的概念及其性质,并通过递推公式详细解释了其计算方法。此外,还提供了一个关于集合上等价关系数量的具体计算实例。

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( m n ) 表 示 将 n 个 不 同 地 球 放 入 m 个 相 同 的 盒 中 的 方 案 个 数 ( 没 有 空 盒 ) , 称 ( m n ) 为 第 二 类 S t i r l i n g 数 (_m^n)表示将n个不同地球放入m个相同的盒中的方案个数(没有空盒),称(_m^n)为第二类Stirling数 mnnm()mnStirling

Stirling数的性质

( 0 n ) = 0 , ( 1 n ) = 1 , ( 2 n ) = 2 n − 1 − 1 , … … , ( n − 1 n ) = c n 2 , ( n n ) = 1 (_0^n)=0,(_1^n)=1,(_2^n)=2^{n-1}-1,……,(_{n-1}^n)=c_n^2,(_n^n)=1 0n=01n=12n=2n11,,n1n=cn2,nn=1
递 推 公 式 : ( m n ) = m ( m n − 1 ) + ( m − 1 n − 1 ) ( 从 乘 法 原 理 和 加 法 原 理 解 读 : 拿 出 一 个 球 则 放 到 一 个 单 独 指 定 的 盒 子 ( 其 他 的 放 到 m − 1 个 盒 子 里 ) 或 放 其 他 有 球 的 盒 子 里 ) 递推公式:(_m^n)=m(_m^{n-1})+(_{m-1}^{n-1})(从乘法原理和加法原理解读: \\拿出一个球则放到一个单独指定的盒子(其他的放到m-1个盒子里)或放其他有球的盒子里) :mn=mmn1+m1n1((m1))

例 : 集 合 A = { A , B , C , D } 上 有 多 少 个 不 同 的 等 价 关 系 ? 例:集合A=\{A,B,C,D\}上有多少个不同的等价关系? A={A,B,C,D}
( 1 4 ) + ( 2 4 ) + ( 3 4 ) + ( 4 4 ) = 15 (_1^4)+(_2^4)+(_3^4)+(_4^4)=15 14+24+34+44=15

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