( m n ) 表 示 将 n 个 不 同 地 球 放 入 m 个 相 同 的 盒 中 的 方 案 个 数 ( 没 有 空 盒 ) , 称 ( m n ) 为 第 二 类 S t i r l i n g 数 (_m^n)表示将n个不同地球放入m个相同的盒中的方案个数(没有空盒),称(_m^n)为第二类Stirling数 (mn)表示将n个不同地球放入m个相同的盒中的方案个数(没有空盒),称(mn)为第二类Stirling数
Stirling数的性质
(
0
n
)
=
0
,
(
1
n
)
=
1
,
(
2
n
)
=
2
n
−
1
−
1
,
…
…
,
(
n
−
1
n
)
=
c
n
2
,
(
n
n
)
=
1
(_0^n)=0,(_1^n)=1,(_2^n)=2^{n-1}-1,……,(_{n-1}^n)=c_n^2,(_n^n)=1
(0n)=0,(1n)=1,(2n)=2n−1−1,……,(n−1n)=cn2,(nn)=1
递
推
公
式
:
(
m
n
)
=
m
(
m
n
−
1
)
+
(
m
−
1
n
−
1
)
(
从
乘
法
原
理
和
加
法
原
理
解
读
:
拿
出
一
个
球
则
放
到
一
个
单
独
指
定
的
盒
子
(
其
他
的
放
到
m
−
1
个
盒
子
里
)
或
放
其
他
有
球
的
盒
子
里
)
递推公式:(_m^n)=m(_m^{n-1})+(_{m-1}^{n-1})(从乘法原理和加法原理解读: \\拿出一个球则放到一个单独指定的盒子(其他的放到m-1个盒子里)或放其他有球的盒子里)
递推公式:(mn)=m(mn−1)+(m−1n−1)(从乘法原理和加法原理解读:拿出一个球则放到一个单独指定的盒子(其他的放到m−1个盒子里)或放其他有球的盒子里)
例
:
集
合
A
=
{
A
,
B
,
C
,
D
}
上
有
多
少
个
不
同
的
等
价
关
系
?
例:集合A=\{A,B,C,D\}上有多少个不同的等价关系?
例:集合A={A,B,C,D}上有多少个不同的等价关系?
(
1
4
)
+
(
2
4
)
+
(
3
4
)
+
(
4
4
)
=
15
(_1^4)+(_2^4)+(_3^4)+(_4^4)=15
(14)+(24)+(34)+(44)=15