预解式

伽罗瓦预解式

$$\begin{gathered} 由于a{x}^2+bx+c=0=(x-x_1)(x-x_2) \\ 由此得出韦达定理\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}& \\ x_1\ast x_2=\frac{c}{a}& \end{array} \\ 同时对于两个元素x_1,x_2的基础对称多项式就是x_1+x_2,x_1\ast x_2 \\ 在高等代数中有证明：任何对称多项式都可以由基础对称多项式表示 \\ 所以我们希望有另一个对称多项式能和x_1+x_2=-\frac{b}{a}组合成方程组然后解出来 \\ 即(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1\ast x_2 \\ =(-\frac{b}{a}{)}^2-4\ast \frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{a^2} \\ 由此可解出(不管正负根)：\{\begin{array}{ll}{x}_1=\frac{\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}-\frac{b}{a}}{2}& \\ x_2=-\frac{\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}+\frac{b}{a}}{2}=\frac{-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}-\frac{b}{a}}{2}& \end{array} \end{gathered}$$

三次方程的解法：

$$\begin{gathered} x^3+p{x}^2+qx+r=0的解法同理，韦达定理：\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2+x_3=-p& \\ x_1\ast x_2+x_1\ast x_3+x_2\ast x_3=q& \\ x_1\ast x_2\ast x_3=-r& \end{array} \\ 所以我们仍希望找个对称多项式解方程组 \\ 观察二次时x_1-x_2的系数是x^2=1的根，猜想x_1,x_2,x_3的系数仍是x^3=1的根1，w,w^2 \\ （x_1+w{x}_2+w^2{x}_3{）}^3在六种置换下取两个值t_1,t_2,不是对称多项式 \\ 考虑更换一个“更对称的”多项式，但是除x_1^3+x_2^3+x_3^3外没有更加对称的了 \\ 拉格朗日给出\{\begin{array}{ll}{t}_1+t_2=-q& \\ t_1\ast t_2=p& \end{array},t_1,t_2为x^2+px+q=0的根 \\ 所以：也就是需要先解能对称的t_1和t_2的多项式x^2+px+q=0，解出t_1和t_2的定值 \\ 然后对t_1和t_2开三次方根\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2+x_3=-p& \\ x_1+w{x}_2+w^2{x}_3=t_1或t_2开三次根& \\ x_2+w{x}_1+w^2{x}_3=t_1或t_2开三次根& \end{array} \\ {x}_2+w{x}_1+w^2{x}_3=t_1或t_2开三次根,左边(x_1,x_2,x_3)交换正好对应六个值 \\ 假设：\{\begin{array}{l}{x}_1+w{x}_2+w^2{x}_3=\sqrt[3]{r_1}\Rightarrow x_1+w{x}_2+w^2{x}_3=\sqrt[3]{r_1}\\ x_1+w{x}_3+w^2{x}_2=w\sqrt[3]{r_1}\Rightarrow w^2{x}_1+x_3+w{x}_2=\sqrt[3]{r_1}\\ x_2+w{x}_1+w^2{x}_3=w^2\sqrt[3]{r_1}\Rightarrow w{x}_2+w^2{x}_1+x_3=\sqrt[3]{r_1}\\ x_2+w{x}_3+w^2{x}_1=\sqrt[3]{r_1}\Rightarrow x_2+w{x}_3+w^2{x}_1=\sqrt[3]{r_1}\\ x_3+w{x}_1+w^2{x}_2=w\sqrt[3]{r_1}\Rightarrow w^2{x}_3+x_1+w{x}_2=w\sqrt[3]{r_1}\\ x_3+w{x}_2+w^2{x}_1=w^2\sqrt[3]{r_1}\Rightarrow w{x}_3+w^2{x}_2+x_1=\sqrt[3]{r_1}\end{array} \\ 上述式子是不相容的：x_1+w{x}_2+w^2{x}_3=\sqrt[3]{r_1}\Rightarrow \{\begin{array}{l}w{x}_1+w^2{x}_2+x_3=w\sqrt[3]{r_1}\\ w^2{x}_2+x_1+w{x}_3=w^2\sqrt[3]{r_1}\end{array} \\ 对于w^3=1,w=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}有1+w+w^2=0调整顺序使得式子之间相容： \\ \{\begin{array}{l}{x}_1+w{x}_2+w^2{x}_3=\sqrt[3]{r_1}\\ x_2+w{x}_1+w^2{x}_3=\sqrt[3]{r_2}\end{array} \\ 最后解得：x_1=\sqrt[3]{r_1}+\sqrt[3]{r_2},x_2=w\sqrt[3]{r_1}+w^2\sqrt[3]{r_2},x_3=w^2\sqrt[3]{r_1}+w\sqrt[3]{r_2} \end{gathered}$$

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注：文章的主要内容来自于忠厚老实的老王对称多项式基本定理

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一元二次方程
4次方程的三次预解式