小波算法笔记

多分辨分析:闭的线性子空间的序列,选定的尺度函数
({Vj,j∈Z},Φ(t))inL2(r)(\{V_j,j\in Z \},Φ(t)) in L^2(r)({Vj,jZ},Φ(t))inL2(r)

A:尺度方程的时域形式

Φ(t)=2∑nhnΦ(2t−n),系数hn=<Φ(t),2hnΦ(2t−n)>,n∈ZΦ(t)=\sqrt[]{2}\sum_n h_nΦ(2t-n),系数h_n=<Φ(t),\sqrt[]{2} h_nΦ(2t-n)>,n\in ZΦ(t)=2nhnΦ(2tn),hn=<Φ(t),2hnΦ(2tn)>,nZ
{hn}∈l2(Z)系数序列是固定的点\{ h_n\} \in l^2(Z)系数序列是固定的点{hn}l2(Z)
频域形式:
Φ^(w)=H(w2)Φ^(w2),其中低通滤波器的脉冲相应序列H(w)=12∑nhne−iwn\hatΦ(w)=H(\frac{w}{2})\hatΦ(\frac{w}{2}),其中低通滤波器的脉冲相应序列H(w)=\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_n h_ne^{-iwn}Φ^(w)=H(2w)Φ^(2w),H(w)=21nhneiwn
Φ(t)是尺度函数,其整数平移构成V0的标准正交基,要求H(w)是共轭滤波器Φ(t)是尺度函数,其整数平移构成V_0的标准正交基,要求H(w)是共轭滤波器Φ(t)V0,H(w)
∣H(w)∣2+∣H(w+π)∣2=1|H(w)|^2+|H(w+\pi)|^2=1H(w)2+H(w+π)2=1
由此要求,hn应该满足什么性质呢?
https://blog.youkuaiyun.com/hedoubibi/article/details/107031279
∣H(w)∣2=(12∑nhne−iwn)(12∑n1hˉne+iwn1)两个级数相乘12∑n∑n1hnhn1ˉe−i(n−n1)w,记n−n1=k,k∈Z12∑k∑nhnhn−kˉe−ikw|H(w)|^2=(\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_n h_ne^{-iwn})(\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_{n_1} \bar h_ne^{+iwn_1})两个级数相乘\\ \frac{1}{2}\sum_n\sum_{n_1h_n \bar {h_{n1}} }e^{-i(n-n1)w},记n-n1=k,k\in Z\\ \frac{1}{2}\sum_k\sum_{n h_n \bar {h_{n-k}} }e^{-ikw}H(w)2=(21nhneiwn)(21n1hˉne+iwn1)21nn1hnhn1ˉei(nn1)w,nn1=k,kZ21knhnhnkˉeikw
则∣H(w)∣2+∣H(w+π)∣2则|H(w)|^2+|H(w+\pi)|^2H(w)2+H(w+π)2
k是奇数单项为零,k是偶数,l∈Z:∑k=2l(∑nhnhn−2lˉ)e−i2lwk是奇数单项为零,k是偶数,l\in Z:\sum_{k=2l}(\sum_{n}{ h_n \bar {h_{n-2l}}) }e^{-i2lw}k,k,lZk=2lnhnhn2lˉei2lw
(∑nhnhn−2lˉ)={1L是00L不是0(\sum_{n}{ h_n \bar {h_{n-2l}}) }= \begin{cases} 1& \text{L是0}\\ 0& \text{L不是0} \end{cases}nhnhn2lˉ={10L0L不是0
即hn是单位向量即hn是单位向量hn

{hn,n∈Z}垂直{hn−2l,n∈Z},l≠0\{h_n,n\in Z \}垂直 \{h_{n-2l},n\in Z\},l \neq 0{hn,nZ}{hn2l,nZ},l=0

问以上能构成l^2的正交基吗?

B:小波方程

Ψ(t)=2∑ngnΦ(2t−n),系数hn=<Ψ(t),2Φ(2t−n)>,n∈ZΨ(t)=\sqrt[]{2}\sum_n g_nΦ(2t-n),系数h_n=<Ψ(t),\sqrt[]{2}Φ(2t-n)>,n\in ZΨ(t)=2ngnΦ(2tn),hn=<Ψ(t),2Φ(2tn)>,nZ
{gn}∈l2(Z)系数序列是固定的点\{ g_n\} \in l^2(Z)系数序列是固定的点{gn}l2(Z)
频域形式:
Ψ^(w)=G(w2)Φ^(w2),其中带通滤波器的脉冲相应序列H(w)=12∑ngne−iwn\hatΨ(w)=G(\frac{w}{2})\hatΦ(\frac{w}{2}),其中带通滤波器的脉冲相应序列H(w)=\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_n g_ne^{-iwn}Ψ^(w)=G(2w)Φ^(2w),H(w)=21ngneiwn
(H(w),G(w))是正交共轭滤波器组(H(w),G(w))是正交共轭滤波器组(H(w),G(w))
Ψ(t)是正交小波的时候
∣G(w)∣2+∣G(w+π)∣2=1|G(w)|^2+|G(w+\pi)|^2=1G(w)2+G(w+π)2=1
同理:
即gn是单位向量即gn是单位向量gn
{gn,n∈Z}垂直{gn−2l,n∈Z},l≠0\{g_n,n\in Z \}垂直 \{g_{n-2l},n\in Z\},l \neq 0{gn,nZ}{gn2l,nZ},l=0

C:以上两个合起来构成O.N.B

{Φ(t−n)},{Ψ(t−n1)}两个序列相互正交\{Φ(t-n)\},\{Ψ(t-n1)\}两个序列相互正交{Φ(tn)}{Ψ(tn1)}

V0正交W0V_0 正交 W_0V0W0

H(w)Gˉ(w)+H(w+π)Gˉ(w+π)=1H(w) \bar G(w)+H(w+\pi) \bar G(w+\pi)=1H(w)Gˉ(w)+H(w+π)Gˉ(w+π)=1

D:子空间的分解关系理解

Vj+1=Vj⊕WjV_{j+1}=V_{j} \oplus W_{j}Vj+1=VjWj

D:子空间的基之间的关系理解

Vj+1:{Φj+1,m,m∈Z}=Vj:{Φj,k,k∈Z}⊕Wj:{Ψj,m,k∈Z}V_{j+1}:\{ Φ_{j+1,m} ,m\in Z\} \\ =\\ V_{j}:\{ Φ_{j,k} ,k\in Z\} \\ \oplus \\ W_{j}:\{ Ψ_{j,m} ,k\in Z\} Vj+1:{Φj+1,m,mZ}=Vj:{Φj,k,kZ}Wj:{Ψj,m,kZ}
使用Vj+1中的基表示Vj和Wj中的基的方程分别为:尺度方程,小波方程\color{red}使用V_{j+1}中的基表示V_j和W_j中的基的方程分别为:尺度方程,小波方程使Vj+1VjWj
尺度方程:Φ(t)=2∑nhnΦ(2t−n)形式转换t−>2jtΦ(t−k)=2∑nhnΦ(2t−(n+2k))−>Φ(t−k)=2∑mhm−2kΦ(2t−m)2j2Φ(2jt−k)=2∑mhm−2k∗2j2∗Φ(2j+1t−m)=∑mhm−2k∗2j+12∗Φ(2j+1t−m)写成记号Φj,k(t)=∑mhm−2kΦj+1,m(t)尺度方程:Φ(t)=\sqrt{2}\sum_n h_nΦ(2t-n)\\ 形式转换\\ t->2^jt\\ Φ(t-k)=\sqrt{2}\sum_n h_nΦ(2t-(n+2k))->Φ(t-k)=\sqrt{2}\sum_m h_{m-2k}Φ(2t-m)\\ 2^{\frac{j}{2}}Φ(2^jt-k)=\sqrt{2}\sum_m h_{m-2k}*2^{\frac{j}{2}}*Φ(2^{j+1}t-m)=\sum_m h_{m-2k}*2^{\frac{j+1}{2}}*Φ(2^{j+1}t-m)\\ 写成记号\\ Φ_{j,k}(t)= \sum_m h_{m-2k}Φ_{j+1,m}(t)Φ(t)=2nhnΦ(2tn)t>2jtΦ(tk)=2nhnΦ(2t(n+2k))>Φ(tk)=2mhm2kΦ(2tm)22jΦ(2jtk)=2mhm2k22jΦ(2j+1tm)=mhm2k22j+1Φ(2j+1tm)Φj,k(t)=mhm2kΦj+1,m(t)
同理:Ψj,k(t)=∑mgm−2kΨj+1,m(t)同理:Ψ_{j,k}(t)= \sum_m g_{m-2k}Ψ_{j+1,m}(t)Ψj,k(t)=mgm2kΨj+1,m(t)

D:子空间的向量与基的坐标变换之间的关系理解

F:信号之间的关系

∀f(t)∈L2(R)在Vj中的正交投影为fj(t)Vj+1−fj+1(t),Vj−fj(t)则fj+1(t)=fj(t)+gj(t),余向量gj(t)在Wj空间中\forall f(t)\in L^2(R)在V_j中的正交投影为f_j(t)\\ V_{j+1} -f_{j+1}(t),V_{j} -f_{j}(t)\\ 则f_{j+1}(t)=f_j(t)+g_j(t),余向量g_j(t)在W_j空间中\\ f(t)L2(R)Vjfj(t)Vj+1fj+1(t),Vjfj(t)fj+1(t)=fj(t)+gj(t),gj(t)Wj

由上得到分解算法和合成算法的公式

正交小波分解算法

向量的表示:fj+1(t)=∑naj+1,nΦj+1,n(t)fj(t)=∑naj,mΨj,m(t)gj(t)=∑ndj,mΨj,m(t)分解的坐标关系:向量的表示:\\ f_{j+1}(t)=\sum_n a_{j+1,n}Φ_{j+1,n}(t)\\ f_{j}(t)=\sum_n a_{j,m}Ψ_{j,m}(t)\\ g_{j}(t)=\sum_n d_{j,m}Ψ_{j,m}(t)\\ 分解的坐标关系:\\ fj+1(t)=naj+1,nΦj+1,n(t)fj(t)=naj,mΨj,m(t)gj(t)=ndj,mΨj,m(t)

分解关系:由a_j+1计算a_j和d_j

由上边的坐标关系出发
fj+1(t)=fj(t)+gj(t)∑naj+1,nΦj+1,n(t)=∑naj,mΨj,m(t)+∑ndj,mΨj,m(t) f_{j+1}(t)=f_{j}(t)+g_{j}(t)\\ \sum_n a_{j+1,n}Φ_{j+1,n}(t)= \sum_n a_{j,m}Ψ_{j,m}(t)+\sum_n d_{j,m}Ψ_{j,m}(t)\\ fj+1(t)=fj(t)+gj(t)naj+1,nΦj+1,n(t)=naj,mΨj,m(t)+ndj,mΨj,m(t)
过程:1.方程两边同乘Φˉj,m1(t)dt后积分2.aj,m1=∑naj+1,n∫−∞+∞Φj+1,n(t)Φˉj,m1(t)dt{\boxed{ 过程:\\ 1.方程两边同乘\barΦ_{j,m_1}(t)dt后积分\\ 2.a_{j,m_1}=\sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty} Φ_{j+1,n}(t)\barΦ_{j,m_1}(t)dt\\ }}1.Φˉj,m1(t)dt2.aj,m1=naj+1,n+Φj+1,n(t)Φˉj,m1(t)dt
=∑naj+1,n∫−∞+∞2j+12Φ(2j+1t−n)2j2Φˉ(2jt−m1)dt=换元后对2Φ(2t−n)Φ(t−m1)的积分{\boxed{ =\sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty} 2^{\frac{j+1}{2}}Φ(2^{j+1}t-n)2^{\frac{j}{2}} \barΦ(2^jt-m_1)dt\\=换元后对\sqrt{2}Φ(2t-n)Φ(t-m_1)的积分 }}=naj+1,n+22j+1Φ(2j+1tn)22jΦˉ(2jtm1)dt=2Φ(2tn)Φ(tm1)
令t1=t−m1,对2Φ(2t1−(n−2m1))Φˉ(t1)dt1的积分{\boxed{ 令t_1=t-m_1,对\sqrt{2}Φ(2t_1-(n-2m_1))\barΦ(t_1)dt_1的积分 }}t1=tm1,2Φ(2t1(n2m1))Φˉ(t1)dt1
∑naj+1,n∫−∞+∞2Φ(2t1−(n−2m1))Φˉ(t1)dt1=∑naj+1,n∫−∞+∞2Φˉ(2t1−(n−2m1))Φ(t1)dt1ˉ注意复共轭{\boxed{ \sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt{2}Φ(2t_1-(n-2m_1))\barΦ(t_1)dt_1= \bar{\sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt{2}\barΦ(2t_1-(n-2m_1))Φ(t_1)dt_1}注意复共轭 }}naj+1,n+2Φ(2t1(n2m1))Φˉ(t1)dt1=naj+1,n+2Φˉ(2t1(n2m1))Φ(t1)dt1ˉ
则aj,m1=∑nhˉn−2m1aj+1,n{\boxed{ 则 a_{j,m_1}=\sum_n \bar h_{n-2m_1} a_{j+1,n} }}ajm1=nhˉn2m1aj+1,n
aj,m=∑nhˉn−2maj+1,n,m∈Z将m1推广到所有的整数{\boxed{ a_{j,m}=\sum_n \bar h_{n-2m} a_{j+1,n},m\in Z将m_1推广到所有的整数 }}ajm=nhˉn2maj+1,n,mZm1广
−显然可得−{\boxed{ -显然可得-}}

dj,m=∑ngˉn−2maj+1,n,m∈Z写点什么好对其进行比较{\boxed{ d_{j,m}=\sum_n \bar g_{n-2m} a_{j+1,n},m\in Z写点什么好对其进行比较 }}djm=ngˉn2maj+1,n,mZ

合成关系:是分解关系的逆

直接写出来:
aj+1,n=∑mhn−2maj,m+∑mgn−2mdj,m,n∈Z{\boxed{ a_{j+1,n}=\sum_m h_{n-2m} a_{j,m}+\sum_m g_{n-2m} d_{j,m},n\in Z }}aj+1n=mhn2maj,m+mgn2mdj,m,nZ

正交性

1.原空间的标准正交基到新的标准正交基的变换是正交变换
2.(aj+1)−>(aj,dj),(aj+1)在l2(Z)空间中看是平凡基,而l2(Z)空间的另一组基{{gn−2l},{hn−2l}},n,l∈Z下的表达记为(aj,dj)(a_j+1)->(a_j,d_j),(a_j+1)在l^2(Z)空间中看是平凡基,而l^2(Z)空间的另一组基\{ \{ g_{n-2l}\},\{ h_{n-2l}\}\},n,l\in Z下的表达记为(a_j,d_j)(aj+1)>(aj,dj),(aj+1)l2(Z)l2(Z){{gn2l},{hn2l}},nlZ(aj,dj)


注:
1.
有些文献中,Φj,m(t)的表达方式为2−j2Φ(2−jt−m),Φj,m(t)=2−j2Φ(2−jt−m),这时Vj+1⊂Vj有些文献中,Φ_{j,m}(t)的表达方式为 2^{-\frac{j}{2}} Φ(2^{-j}t-m),Φ_{j,m}(t)= 2^{-\frac{j}{2}} Φ(2^{-j}t-m),这时V_{j+1} \subset V_j,Φj,m(t)22jΦ(2jtm)Φj,m(t)=22jΦ(2jtm),Vj+1Vj

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