多分辨分析详解-优快云博客

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多分辨分析:闭的线性子空间的序列，选定的尺度函数
$({Vj,j∈Z},Φ(t))inL2(r)(\{V_j,j\in Z \},Φ(t)) in L^2(r)$

A：尺度方程的时域形式

$Φ(t)=2∑nhnΦ(2t−n),系数hn=<Φ(t),2hnΦ(2t−n)>,n∈ZΦ(t)=\sqrt[]{2}\sum_n h_nΦ(2t-n),系数h_n=<Φ(t),\sqrt[]{2} h_nΦ(2t-n)>,n\in Z$
${hn}∈l2(Z)系数序列是固定的点\{ h_n\} \in l^2(Z)系数序列是固定的点$
频域形式：
$Φ^(w)=H(w2)Φ^(w2),其中低通滤波器的脉冲相应序列H(w)=12∑nhne−iwn\hatΦ(w)=H(\frac{w}{2})\hatΦ(\frac{w}{2}),其中低通滤波器的脉冲相应序列H(w)=\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_n h_ne^{-iwn}$
$Φ(t)是尺度函数，其整数平移构成V_0的标准正交基,要求H(w)是共轭滤波器$
$∣H(w)∣2+∣H(w+π)∣2=1|H(w)|^2+|H(w+\pi)|^2=1$
由此要求，hn应该满足什么性质呢？
https://blog.youkuaiyun.com/hedoubibi/article/details/107031279
$∣H(w)∣2=(12∑nhne−iwn)(12∑n1hˉne+iwn1)两个级数相乘12∑n∑n1hnhn1ˉe−i(n−n1)w,记n−n1=k,k∈Z12∑k∑nhnhn−kˉe−ikw|H(w)|^2=(\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_n h_ne^{-iwn})(\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_{n_1} \bar h_ne^{+iwn_1})两个级数相乘\\ \frac{1}{2}\sum_n\sum_{n_1h_n \bar {h_{n1}} }e^{-i(n-n1)w},记n-n1=k,k\in Z\\ \frac{1}{2}\sum_k\sum_{n h_n \bar {h_{n-k}} }e^{-ikw}$
$则∣H(w)∣2+∣H(w+π)∣2则|H(w)|^2+|H(w+\pi)|^2$
$k是奇数单项为零,k是偶数,l∈Z：∑k=2l（∑nhnhn−2lˉ）e−i2lwk是奇数单项为零,k是偶数,l\in Z：\sum_{k=2l}（\sum_{n}{ h_n \bar {h_{n-2l}}） }e^{-i2lw}$
$（∑nhnhn−2lˉ）={1L是00L不是0（\sum_{n}{ h_n \bar {h_{n-2l}}） }= \begin{cases} 1& \text{L是0}\\ 0& \text{L不是0} \end{cases}$
$即 h n 是单位向量$
且
${hn,n∈Z}垂直{hn−2l,n∈Z},l≠0\{h_n,n\in Z \}垂直 \{h_{n-2l},n\in Z\},l \neq 0$

问以上能构成l^2的正交基吗？

B：小波方程

$Ψ(t)=2∑ngnΦ(2t−n),系数hn=<Ψ(t),2Φ(2t−n)>,n∈ZΨ(t)=\sqrt[]{2}\sum_n g_nΦ(2t-n),系数h_n=<Ψ(t),\sqrt[]{2}Φ(2t-n)>,n\in Z$
${gn}∈l2(Z)系数序列是固定的点\{ g_n\} \in l^2(Z)系数序列是固定的点$
频域形式：
$Ψ^(w)=G(w2)Φ^(w2),其中带通滤波器的脉冲相应序列H(w)=12∑ngne−iwn\hatΨ(w)=G(\frac{w}{2})\hatΦ(\frac{w}{2}),其中带通滤波器的脉冲相应序列H(w)=\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_n g_ne^{-iwn}$
$(H (w), G (w)) 是正交共轭滤波器组$
Ψ(t)是正交小波的时候
$∣G(w)∣2+∣G(w+π)∣2=1|G(w)|^2+|G(w+\pi)|^2=1$
同理：
$即 g n 是单位向量$
${gn,n∈Z}垂直{gn−2l,n∈Z},l≠0\{g_n,n\in Z \}垂直 \{g_{n-2l},n\in Z\},l \neq 0$

C:以上两个合起来构成O.N.B

${Φ(t-n)\}，\{Ψ(t-n1)\}两个序列相互正交$
或
$V_0 正交 W_0$
或
$\bar G(w)+H(w+\pi) \bar G(w+\pi)=1$

D:子空间的分解关系理解

$Vj+1=Vj⊕WjV_{j+1}=V_{j} \oplus W_{j}$

D:子空间的基之间的关系理解

$Vj+1:{Φj+1,m,m∈Z}=Vj:{Φj,k,k∈Z}⊕Wj:{Ψj,m,k∈Z}V_{j+1}:\{ Φ_{j+1,m} ,m\in Z\} \\ =\\ V_{j}:\{ Φ_{j,k} ,k\in Z\} \\ \oplus \\ W_{j}:\{ Ψ_{j,m} ,k\in Z\}$
$使用Vj+1中的基表示Vj和Wj中的基的方程分别为：尺度方程，小波方程\color{red}使用V_{j+1}中的基表示V_j和W_j中的基的方程分别为：尺度方程，小波方程$
$尺度方程：Φ(t)=2∑nhnΦ(2t−n)形式转换t−>2jtΦ(t−k)=2∑nhnΦ(2t−(n+2k))−>Φ(t−k)=2∑mhm−2kΦ(2t−m)2j2Φ(2jt−k)=2∑mhm−2k∗2j2∗Φ(2j+1t−m)=∑mhm−2k∗2j+12∗Φ(2j+1t−m)写成记号Φj,k(t)=∑mhm−2kΦj+1,m(t)尺度方程：Φ(t)=\sqrt{2}\sum_n h_nΦ(2t-n)\\ 形式转换\\ t->2^jt\\ Φ(t-k)=\sqrt{2}\sum_n h_nΦ(2t-(n+2k))->Φ(t-k)=\sqrt{2}\sum_m h_{m-2k}Φ(2t-m)\\ 2^{\frac{j}{2}}Φ(2^jt-k)=\sqrt{2}\sum_m h_{m-2k}*2^{\frac{j}{2}}*Φ(2^{j+1}t-m)=\sum_m h_{m-2k}*2^{\frac{j+1}{2}}*Φ(2^{j+1}t-m)\\ 写成记号\\ Φ_{j,k}(t)= \sum_m h_{m-2k}Φ_{j+1,m}(t)$
$同理：Ψj,k(t)=∑mgm−2kΨj+1,m(t)同理：Ψ_{j,k}(t)= \sum_m g_{m-2k}Ψ_{j+1,m}(t)$

D:子空间的向量与基的坐标变换之间的关系理解

F:信号之间的关系

$∀f(t)∈L2(R)在Vj中的正交投影为fj(t)Vj+1−fj+1(t),Vj−fj(t)则fj+1(t)=fj(t)+gj(t),余向量gj(t)在Wj空间中\forall f(t)\in L^2(R)在V_j中的正交投影为f_j(t)\\ V_{j+1} -f_{j+1}(t),V_{j} -f_{j}(t)\\ 则f_{j+1}(t)=f_j(t)+g_j(t),余向量g_j(t)在W_j空间中\\$

由上得到分解算法和合成算法的公式

正交小波分解算法

$向量的表示：fj+1(t)=∑naj+1,nΦj+1,n(t)fj(t)=∑naj,mΨj,m(t)gj(t)=∑ndj,mΨj,m(t)分解的坐标关系：向量的表示：\\ f_{j+1}(t)=\sum_n a_{j+1,n}Φ_{j+1,n}(t)\\ f_{j}(t)=\sum_n a_{j,m}Ψ_{j,m}(t)\\ g_{j}(t)=\sum_n d_{j,m}Ψ_{j,m}(t)\\ 分解的坐标关系：\\$

分解关系：由a_j+1计算a_j和d_j

由上边的坐标关系出发
$f_{j+1}(t)=f_{j}(t)+g_{j}(t)\\ \sum_n a_{j+1,n}Φ_{j+1,n}(t)= \sum_n a_{j,m}Ψ_{j,m}(t)+\sum_n d_{j,m}Ψ_{j,m}(t)\\$
$过程：1.方程两边同乘Φˉj,m1(t)dt后积分2.aj,m1=∑naj+1,n∫−∞+∞Φj+1,n(t)Φˉj,m1(t)dt{\boxed{ 过程：\\ 1.方程两边同乘\barΦ_{j,m_1}(t)dt后积分\\ 2.a_{j,m_1}=\sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty} Φ_{j+1,n}(t)\barΦ_{j,m_1}(t)dt\\ }}$
$=∑naj+1,n∫−∞+∞2j+12Φ(2j+1t−n)2j2Φˉ(2jt−m1)dt=换元后对2Φ(2t−n)Φ(t−m1)的积分{\boxed{ =\sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty} 2^{\frac{j+1}{2}}Φ(2^{j+1}t-n)2^{\frac{j}{2}} \barΦ(2^jt-m_1)dt\\=换元后对\sqrt{2}Φ(2t-n)Φ(t-m_1)的积分 }}$
$令t1=t−m1,对2Φ(2t1−(n−2m1))Φˉ(t1)dt1的积分{\boxed{ 令t_1=t-m_1,对\sqrt{2}Φ(2t_1-(n-2m_1))\barΦ(t_1)dt_1的积分 }}$
$∑naj+1,n∫−∞+∞2Φ(2t1−(n−2m1))Φˉ(t1)dt1=∑naj+1,n∫−∞+∞2Φˉ(2t1−(n−2m1))Φ(t1)dt1ˉ注意复共轭{\boxed{ \sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt{2}Φ(2t_1-(n-2m_1))\barΦ(t_1)dt_1= \bar{\sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt{2}\barΦ(2t_1-(n-2m_1))Φ(t_1)dt_1}注意复共轭 }}$
$则aj，m1=∑nhˉn−2m1aj+1,n{\boxed{ 则 a_{j，m_1}=\sum_n \bar h_{n-2m_1} a_{j+1,n} }}$
$aj，m=∑nhˉn−2maj+1,n,m∈Z将m1推广到所有的整数{\boxed{ a_{j，m}=\sum_n \bar h_{n-2m} a_{j+1,n},m\in Z将m_1推广到所有的整数 }}$
$−显然可得−{\boxed{ -显然可得-}}$

$dj，m=∑ngˉn−2maj+1,n,m∈Z写点什么好对其进行比较{\boxed{ d_{j，m}=\sum_n \bar g_{n-2m} a_{j+1,n},m\in Z写点什么好对其进行比较 }}$

合成关系：是分解关系的逆

直接写出来：
$aj+1，n=∑mhn−2maj,m+∑mgn−2mdj,m,n∈Z{\boxed{ a_{j+1，n}=\sum_m h_{n-2m} a_{j,m}+\sum_m g_{n-2m} d_{j,m},n\in Z }}$

正交性

1.原空间的标准正交基到新的标准正交基的变换是正交变换
2. $(aj+1)−>(aj,dj),(aj+1)在l2(Z)空间中看是平凡基，而l2(Z)空间的另一组基{{gn−2l},{hn−2l}},n，l∈Z下的表达记为(aj,dj)(a_j+1)->(a_j,d_j),(a_j+1)在l^2(Z)空间中看是平凡基，而l^2(Z)空间的另一组基\{ \{ g_{n-2l}\},\{ h_{n-2l}\}\},n，l\in Z下的表达记为(a_j,d_j)$

注：
1.
$有些文献中,Φj,m(t)的表达方式为2−j2Φ(2−jt−m)，Φj,m(t)=2−j2Φ(2−jt−m),这时Vj+1⊂Vj有些文献中,Φ_{j,m}(t)的表达方式为 2^{-\frac{j}{2}} Φ(2^{-j}t-m)，Φ_{j,m}(t)= 2^{-\frac{j}{2}} Φ(2^{-j}t-m),这时V_{j+1} \subset V_j$