关系的定义与性质

一、关系的定义

$$\begin{gathered} 定义A_i是n个集合， \\ 集合A_1\times A_2\times ..A_n的一个子集F，称为A_1,A_2...A_n上的一个n元关系。 \\ 特别地，集合A\times B的一个子集R，称为集合A与B上的一个元关系(binaryrelation),简称为关系。 \\ 对于x\in A,y\in B,R是A与B上的一个二元关系， \\ 著(x,y)\in R，则称x，y有关系R，记为xRy;着(x,y)\notin R,则称x，y没有关系R。 \\ 若B=A，则R称为A上的二元关系 \end{gathered}$$

二、关系的性质：

$\ast A\times A的任一子集都是A上的一个关系，若|A|=n,则A上的关系有（2^{n^2}）个$
$$A\times A的子集的个数，也就是A\times A的幂集中元素的个数：2^{n^2}$$
$\ast A上的三个特殊的关系$

1. $空关系\Phi$
2. $全域关系E_A=A\times A$
3. 恒 等 关 系 I A = { ( x , x ) ∣ x ∈ A } 恒等关系I_A=\{(x,x)|x\in A\} 恒等关系IA​={(x,x)∣x∈A}

$\ast 集合A的元素个数为n,R是A上的二元关系，则有R^i=R^j(0\le i\le j\le 2^{n^2})$
$$\begin{gathered} 鸽巢原理：m个鸽子飞进n个巢，至少有一个巢有\lceil \frac{m}{n}\rceil 个或以上个鸽子 \\ n个数取n-1个值，则必有两个值相等 \\ {R}^i和R^j仍然是A上的二元关系，所以当R的次幂的个数大于2^{n^2}时一定不能再生成新的关系 \end{gathered}$$

三、二元关系的关系矩阵表示：

关 系 矩 阵 的 表 示 与 行 列 表 示 的 集 合 A , B 中 的 元 素 顺 序 有 关 , 在 关 系 中 如 果 有 ( A i , B j ) , 则 关 系 矩 阵 中 a i , j = 1 , 否 则 为 0 例 . A = { 1 , 2.3.4 } 上 二 元 关 系 R = < 2 ， 4 > ， < 3 ， 3 > ， < 4 ， 2 > ， R 的 关 系 矩 阵 M r 中 m 2 , 4 = ( 1 ) ; m 3 , 4 = ( 0 ) 关系矩阵的表示与行列表示的集合A,B中的元素顺序有关,\\ 在关系中如果有(A_i,B_j) ,则关系矩阵中a_{i,j}=1,否则为0\\例. A=\{1,2.3.4\}上二元关系R={ <2，4>，<3，3>，<4，2> }，R的关系矩阵Mr中m_{2,4}=(1);m_{3,4}= (0) 关系矩阵的表示与行列表示的集合A,B中的元素顺序有关,在关系中如果有(Ai​,Bj​),则关系矩阵中ai,j​=1,否则为0例.A={1,2.3.4}上二元关系R=<2，4>，<3，3>，<4，2>，R的关系矩阵Mr中m2,4​=(1);m3,4​=(0)
$$M_{R\ast S}=M_R\times M_S当计算加法时使用逻辑加$$

四、二元关系的关系图表示：

$$试用有向图表示关系，如果R中有元素（a，b）,则有一条a到b的有向边$$

关系的图与矩阵表示特点：

项目	有向图	矩阵
反自反	每个节点都无环	主对角线都为0
对称	两个不同的节点，若有边，则要反向成对出现
反对称	两个不同的节点至多只有一条单项边

注意：对称关系与反对称关系不是完全对立的，有些关系既是对称也是反对称的，例如：空关系和恒等关系
传递性：

反对称关系的定义：$集合A上的关系R是反对称的，如果xRy,yRx则必有x=y$

空关系，恒等关系，完全关系是传递的

$\ast 反自反和传递性来推导出反对称$
$$\begin{gathered} 用反证法证明。 \\ 如果关系R不是反对称，则：xRy且yRx。 \\ 又R是传递，所以xRx，即R自反，与题目矛盾。 \end{gathered}$$

二元关系的性质