一阶微分具有形式不变性和高阶微分不具有形式不变性

二阶微分的形式不变性

$$\begin{gathered} \frac{d^{2}y}{d{x}^2}\ne \frac{d^{2}y}{d{t}^2}\frac{d^{2}t}{d{x}^2} \\ \frac{d^{2}y}{d{x}^2}\ne \frac{d^{2}y}{d{t}^2}(\frac{dt}{dx}{)}^2 \end{gathered}$$

二阶微分的形式不变性

$$\begin{gathered} dy=f^{\prime }(x)dx \\ {d}^{2}y=d[f^{\prime }(x)dx]=d[f^{\prime }(x)]\ast dx+f^{\prime }(x)d[dx] \\ 这里dx是x处产生的增量，与变量x无关，视作常数d[dx]=0 \\ 也就是实际上d{x}^2=(dx{)}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 对于复合函数y=f(u(x)) \\ dy=f^{\prime }(u)du \\ {d}^{2}y=d[f^{\prime }(u)du]=d[f^{\prime }(u)]\ast du+f^{\prime }(u)d[du] \\ 这里du=u^{\prime }(x)dx，与变量x有关，视作常数d[dx]\ne 0 \\ {d}^{2}y=d[f^{\prime }(u)du]=d[f^{\prime }(u)]\ast du+f^{\prime }(u)d^{2}u \end{gathered}$$

例：$$求y=e^{sinx}的二阶微分$$
解一：
$$y^{\prime \prime }=e^{sinx}(co{s}^{2}x-sinx)\Rightarrow d^{2}y=y^{\prime \prime }d{x}^2$$
解二：
$$\begin{gathered} 看成复合函数y=e^u,u=sinx \\ {y}^{\prime \prime }(u)=e^{u}d{u}^2=co{s}^{2}xd{x}^2{d}^{2}u=-sinxd{x}^2 \\ \Rightarrow d^{2}y=e^{u}d{u}^2+e^u{d}^{2}u \end{gathered}$$

参考

一阶微分具有形式不变性

1.求函数的偏导数：
$$u=\frac{x}{x^2+y^2+z^2},求\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}$$
2.隐函数求导
链式法则与微分不变性

3.微分的物理意义：空间的法向量和切向量
曲面法向量
曲线切向量

4.可降阶的二阶微分方程