幂级数求和函数方法

幂级数公式
常见幂级数求和函数方法：
$$\begin{gathered} 先导后积(n在分母：\sum _2^{+\infty }\frac{x^n}{n(n-1)})， \\ 先积后导(n在分子：\sum _0^{+\infty }n{x}^{n-1})， \\ 微分方程法(\sum _0^{+\infty }\frac{(n+1)x^n}{n!}) \\ 柯西乘法公式("多项式乘法")：\sum a_n{x}^n,\sum b_n{x}^n绝对收敛 \\ 则\sum a_n{x}^n\ast \sum b_n{x}^n=\sum c_n{x}^n绝对收敛 \end{gathered}$$

微分方程法
幂级数的和函数微分后，再与原来幂级数作某种运算，得到一个含有幂级数和函数以及
和函数导数的关系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函数。

微分方程法例1:

$$\begin{gathered} S(x)=\sum _0^{+\infty }\frac{n+1}{n!}{x}^n \\ 由题意得S(x)-S^{\prime }(x)=(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots \dots ) \\ S(x)=e^x(x+1) \end{gathered}$$

微分方程法例2:级数系数间的递推关系与微分方程

$$\begin{gathered} a_1=1,a_{n+1}=f(a_n),求S(x) \\ 则S^{\prime }(x)=(a_{1}x+\sum _{n=2}^{+\infty }{a}_n{x}^n{)}^{\prime } \\ =a_1+\sum _{n=2}^{+\infty }{a}_n\ast n\ast x^{n-1} \\ =a_1+\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_{n+1}\ast (n+1)\ast x^n \\ =a_1+\sum _{n=1}^{+\infty }f(a_n)\ast (n+1)\ast x^n \\ f(a_n)\ast (n+1)如果能写成a_n+n{a}_n+g(n)的形式(其中g(n)x^n为某函数的幂级数展开 \\ 则=a_1+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_n+n{a}_n+g(n))\ast x^n \\ =a_1+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_n)\ast x^n+\sum _{n=1}^{+\infty }(n{a}_n)\ast x^n+\sum _{n=1}^{+\infty }(g(n))\ast x^n \\ =a_1+S(x)+x{S}^{\prime }(x)+\sum _{n=1}^{+\infty }(g(n))\ast x^n \end{gathered}$$
柯西乘法公式：
$$\begin{gathered} S(x)=\sum _1^n-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots \dots +\frac{1}{n})x^n \\ 观察x^n的系数c_n，-(1),-(1+\frac{1}{2}),-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})\dots \dots \\ ln(1-x)=-(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\dots \dots +\frac{x^n}{n}) \\ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots \dots +x^n \\ S(x)=\frac{ln(1-x)}{1-x} \end{gathered}$$