一阶微分形式不变性

一阶微分形式不变性

若$y=f(u)$，$u=g(x)$，则$dy=f^{\prime }(u)du=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)dx$

形式不变性指若$y=f(u)$，则无论$u$是自变量还是中间变量，对$y$微分保持形式不变，$dy=f^{\prime }(u)du$

例1

$y=\cos \ln (2x+1)$，求$dy$.

解：$dy=-\sin \ln (2x+1)\cdot \frac{1}{2x+1}\cdot 2dx=-\frac{2\sin \ln (2x+1)}{2x+1}dx$

例2

设$f(x)$可导，$y=f(\sin x)+e^{f(x)}$，求$dy$.

解：$dy=[f^{\prime }(\sin x)\cdot \cos x+e^{f(x)}\cdot f^{\prime }(x)]dx$

总结

一阶微分形式不变性，与复合函数求导有一定联系，以上练习也可以当作复合函数求导的练习。