本文详细探讨了当X和Y独立且均匀分布在[0,1]上时，Z=X+Y的分布特性，通过分布函数法和换元法求解，并揭示了其为尖峰分布，是两个正方形区域的卷积结果。理解了直角换元和积分限制的重要性。
设 X , Y 相 互 独 立 ， 均 服 从 [ 0 ， 1 ] 上 的 均 匀 分 布 ， 求 Z = X + Y 的 分 布 设X,Y相互独立，均服从[0，1]上的均匀分布，求Z=X+Y的分布 设X,Y相互独立，均服从[0，1]上的均匀分布，求Z=X+Y的分布
分布函数法
z < 0 , F z ( z ) = 0 0 ≤ z < 1 , F z ( z ) = ∫ 0 z d x ∫ 0 z − x f ( x , y ) d y 0 ≤ z < 1 , F z ( z ) = 1 − ∫ z − 1 1 d x ∫ z − x 1 f ( x , y ) d y 算 完 分 段 函 数 后 再 分 段 求 导 即 可 得 f z ( z ) z<0,F_z(z)=0\\ 0 \leq z <1,F_z(z)=\int_0^zdx \int_0^{z-x} f(x,y)dy\\ 0 \leq z <1,F_z(z)=1-\int_{z-1}^1dx \int_{z-x}^1 f(x,y)dy\\ 算完分段函数后再分段求导即可得f_z(z) z<0,Fz(z)=00≤z<1,Fz(z)=∫0zdx∫0z−xf(x,y)dy0≤z<1,Fz(z)=1−∫z−11dx∫z−x1f(x,y)dy算完分段函数后再分段求导即可得fz(z)
换元法
由
公
式
f
z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
z
−
y
,
y
)
d
y
难
点
在
于
换
元
后
,
积
分
限
的
确
定
(
如
果
是
直
角
换
极
坐
标
的
情
况
好
一
点
)
y
∈
(
0
,
1
)
,
x
=
z
−
y
∈
(
0
,
1
)
→
y
∈
(
0
,
1
)
并
(
z
−
1
,
z
)
y
∈
{
(
0
,
z
)
0<z<1
(
z
−
1
,
1
)
z>=1
f
z
(
z
)
=
{
∫
0
z
f
(
z
−
y
,
y
)
d
y
0<z<1
∫
z
−
1
1
f
(
z
−
y
,
y
)
d
y
z>=1
由公式f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy\\ 难点在于换元后,积分限的确定(如果是直角换极坐标的情况好一点)\\ y\in (0,1),x=z-y\in (0,1) \rightarrow y\in(0,1) 并(z-1,z)\\ y\in \begin{cases} (0,z)& \text{0<z<1}\\ (z-1,1)& \text{z>=1} \end{cases}\\ f_z(z)= \begin{cases} \int_{0}^{z}f(z-y,y)dy& \text{0<z<1}\\ \int_{z-1}^{1}f(z-y,y)dy& \text{z>=1} \end{cases}\\
由公式fz(z)=∫−∞+∞f(z−y,y)dy难点在于换元后,积分限的确定(如果是直角换极坐标的情况好一点)y∈(0,1),x=z−y∈(0,1)→y∈(0,1)并(z−1,z)y∈{(0,z)(z−1,1)0<z<1z>=1fz(z)={∫0zf(z−y,y)dy∫z−11f(z−y,y)dy0<z<1z>=1
结果：实际上是一个尖峰分布，是两个正方形的卷积
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