考虑线性方程组Am∗nX=b的解(X∈Rn,b∈Rm),如果方程组有解,则解的结构一定是某个特解加上对应的其次方程的解(G/ker(f)≅Im(f))考虑线性方程组A_{m*n}X=b的解(X\in R^n,b\in R^m),如果方程组有解,\\ 则解的结构一定是某个特解加上对应的其次方程的解\\ (G/ker(f)\cong Im(f))考虑线性方程组Am∗nX=b的解(X∈Rn,b∈Rm),如果方程组有解,则解的结构一定是某个特解加上对应的其次方程的解(G/ker(f)≅Im(f))
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r(A)=r(A∣b)时有解,r(A)=r(A∣b)=n(未知数个数)时有唯一解,r(A)=r(A∣b)<n(未知数个数)时有无穷多解r(A)= r(A|b)时有解,r(A)= r(A|b)=n(未知数个数)时有唯一解,\\ r(A)= r(A|b)<n(未知数个数)时有无穷多解r(A)=r(A∣b)时有解,r(A)=r(A∣b)=n(未知数个数)时有唯一解,r(A)=r(A∣b)<n(未知数个数)时有无穷多解
对于A3∗n,AX=b有三个线性无关的解,AX=0有两个线性无关的解对于A_{3*n},AX=b有三个线性无关的解,
AX=0有两个线性无关的解
对于A3∗n,AX=b有三个线性无关的解,AX=0有两个线性无关的解
若a1,a2,a3是AX=b的三个线性无关的解,则a1−a2,a1−a3是AX=0的两个线性无关的解{a1−a2,a1−a3一定是线性无关的,否则k1(a1−a2)+k2(a1−a3)=0(k1,k2不同时为零)则(k1+k2)a1−k1a2−k2a3=0即a1,a2,a3线性相关}若a_1,a_2,a_3是AX=b的三个线性无关的解,\\
则a_1-a_2,a_1-a_3是AX=0的两个线性无关的解\\
\{a_1-a_2,a_1-a_3一定是线性无关的,否则k_1(a_1-a_2)+k_2(a_1-a_3)=0\\(k_1,k_2不同时为零)\\
则(k_1+k_2)a_1-k_1a_2-k_2a_3=0\\
即a_1,a_2,a_3线性相关 \}
若a1,a2,a3是AX=b的三个线性无关的解,则a1−a2,a1−a3是AX=0的两个线性无关的解{a1−a2,a1−a3一定是线性无关的,否则k1(a1−a2)+k2(a1−a3)=0(k1,k2不同时为零)则(k1+k2)a1−k1a2−k2a3=0即a1,a2,a3线性相关}