非齐次线性方程组解的结构暂记

本文探讨了线性方程组Am*nX=b的解的性质,指出当r(A)=r(A∣b)时有解,且r(A)=r(A∣b)=n时解唯一。若方程有多个线性无关解,它们的差构成其次方程的解集。解的结构由特解与齐次方程的解组成。

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考虑线性方程组Am∗nX=b的解(X∈Rn,b∈Rm),如果方程组有解,则解的结构一定是某个特解加上对应的其次方程的解(G/ker(f)≅Im(f))考虑线性方程组A_{m*n}X=b的解(X\in R^n,b\in R^m),如果方程组有解,\\ 则解的结构一定是某个特解加上对应的其次方程的解\\ (G/ker(f)\cong Im(f))线AmnX=b(XRn,bRm)(G/ker(f)Im(f))

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  1. r(A)=r(A∣b)时有解,r(A)=r(A∣b)=n(未知数个数)时有唯一解,r(A)=r(A∣b)<n(未知数个数)时有无穷多解r(A)= r(A|b)时有解,r(A)= r(A|b)=n(未知数个数)时有唯一解,\\ r(A)= r(A|b)<n(未知数个数)时有无穷多解r(A)=r(Ab),r(A)=r(Ab)=n()r(A)=r(Ab)<n()

对于A3∗n,AX=b有三个线性无关的解,AX=0有两个线性无关的解对于A_{3*n},AX=b有三个线性无关的解, AX=0有两个线性无关的解 A3nAX=b线AX=0线
若a1,a2,a3是AX=b的三个线性无关的解,则a1−a2,a1−a3是AX=0的两个线性无关的解{a1−a2,a1−a3一定是线性无关的,否则k1(a1−a2)+k2(a1−a3)=0(k1,k2不同时为零)则(k1+k2)a1−k1a2−k2a3=0即a1,a2,a3线性相关}若a_1,a_2,a_3是AX=b的三个线性无关的解,\\ 则a_1-a_2,a_1-a_3是AX=0的两个线性无关的解\\ \{a_1-a_2,a_1-a_3一定是线性无关的,否则k_1(a_1-a_2)+k_2(a_1-a_3)=0\\(k_1,k_2不同时为零)\\ 则(k_1+k_2)a_1-k_1a_2-k_2a_3=0\\ 即a_1,a_2,a_3线性相关 \} a1,a2,a3AX=b线a1a2,a1a3AX=0线{a1a2,a1a3线k1(a1a2)+k2(a1a3)=0(k1,k2)(k1+k2)a1k1a2k2a3=0a1,a2,a3线}

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