非齐次线性方程组解的结构暂记

$$\begin{gathered} 考虑线性方程组A_{m\ast n}X=b的解(X\in R^n,b\in R^m)，如果方程组有解， \\ 则解的结构一定是某个特解加上对应的其次方程的解 \\ (G/ker(f)\cong Im(f)) \end{gathered}$$

1. $$\begin{gathered} r(A)=r(A|b)时有解,r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)时有唯一解， \\ r(A)=r(A|b)<n(未知数个数)时有无穷多解 \end{gathered}$$

$$对于A_{3\ast n}，AX=b有三个线性无关的解，AX=0有两个线性无关的解$$
若a1,a2,a3是AX=b的三个线性无关的解，则a1−a2,a1−a3是AX=0的两个线性无关的解{a1−a2,a1−a3一定是线性无关的，否则k1(a1−a2)+k2(a1−a3)=0(k1,k2不同时为零)则(k1+k2)a1−k1a2−k2a3=0即a1,a2,a3线性相关}若a_1,a_2,a_3是AX=b的三个线性无关的解，\\ 则a_1-a_2,a_1-a_3是AX=0的两个线性无关的解\\ \{a_1-a_2,a_1-a_3一定是线性无关的，否则k_1(a_1-a_2)+k_2(a_1-a_3)=0\\(k_1,k_2不同时为零)\\ 则(k_1+k_2)a_1-k_1a_2-k_2a_3=0\\ 即a_1,a_2,a_3线性相关 \} 若a1​,a2​,a3​是AX=b的三个线性无关的解，则a1​−a2​,a1​−a3​是AX=0的两个线性无关的解{a1​−a2​,a1​−a3​一定是线性无关的，否则k1​(a1​−a2​)+k2​(a1​−a3​)=0(k1​,k2​不同时为零)则(k1​+k2​)a1​−k1​a2​−k2​a3​=0即a1​,a2​,a3​线性相关}