格林公式中对偏微分的积分

数学应用：格林公式与全微分方程解析

最新推荐文章于 2025-07-13 19:20:43 发布

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该博客介绍了格林公式在计算二重积分中的应用，通过实例展示了如何将二重积分转化为曲线积分并求解。同时，探讨了全微分方程的求解方法，给出了一道具体的全微分方程例子，展示了解题过程。

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格林公式计算二重积分的例子：

$∬De−y2dxdy∬D∂xe−y2∂x−∂0∂ydxdy=∮Lxe−y2dy(化为了第二类曲线积分，可化为参数形式转为定积分∫f(t)dt)\iint_D e^{-y^2}dxdy\\ \iint_D\frac{ \partial xe^{-y^2}}{\partial x}-\frac{ \partial 0}{\partial y} dxdy\\ =\oint_L xe^{-y^2}dy(化为了第二类曲线积分，可化为参数形式转为定积分\int f(t)dt)$
在这里插入图片描述
$=∮Lxe−y2dy=∫y=0xe−y2dy+∫x=1,y∈[0,1]xe−y2dy+∫y=1xe−y2dy−∫x=0,y∈[0,1]xe−y2dy=0+∫01e−y2dy+0+0=\oint_L xe^{-y^2}dy\\ =\int_{y=0} xe^{-y^2}dy+\int_{x=1,y\in[0,1]} xe^{-y^2}dy+\int_{y=1} xe^{-y^2}dy-\int_{x=0,y\in[0,1]} xe^{-y^2}dy\\ =0+\int_0^1 e^{-y^2}dy+0+0$

全微分方程的例子

求解： $2xy+1ydx+y−xy2dy=0解：由题意∂P∂y=∂Q∂x,则次方程为全微分方程则P=∂U∂x⇒U=x2+xy+c(y)Q=∂U∂y=−xy2+c′(y)c(y)=ln∣y∣+1,U=x2+xy+c(y)\frac{2xy+1}{y}dx+\frac{y-x}{y^2}dy=0\\ 解：由题意\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},则次方程为全微分方程\\ 则P=\frac{\partial U}{\partial x} \Rightarrow U=x^2+\frac{x}{y}+c(y)\\ Q=\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{x}{y^2}+c'(y)\\ c(y)=ln|y|+1,U=x^2+\frac{x}{y}+c(y)$