\int_{0}^{1}\frac{x^a-1}{lnx}dx含参数变量积分

本文通过求导积分再积分的方法,详细解析了一类含参变量积分的问题,并给出了具体的计算步骤和最终答案。同时,还介绍了如何通过二重积分交换积分顺序来简化计算。

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∫01xa−1lnxdx=ln(a+1)\int_{0}^{1}\frac{x^a-1}{lnx}dx=ln(a+1)01lnxxa1dx=ln(a+1)

求导 积分 再积分

F(a)=∫01xa−1lnxdxdF(a)da=∫01∂xa−1lnx∂adxa∫01xa−1lnxdx!!!!!!!!!!!!含参变量的积分最重要的一点就是不要把指数和对数函数的求导弄混了=∫01xadx=11+axa+1dx∣01=11+aF(a)=\int_{0}^{1}\frac{x^a-1}{lnx}dx\\ \frac{dF(a)}{da}=\int_{0}^{1}\frac{\partial \frac{x^a-1}{lnx}}{\partial a}dx\\ a\int_{0}^{1}\frac{x^{a-1}}{lnx}dx !!!!!!!!!!!! \\含参变量的积分最重要的一点就是不要把指数和对数函数的求导弄混了\\ =\int_{0}^{1}x^adx=\frac{1}{1+a}x^{a+1}dx|_{0}^{1}=\frac{1}{1+a} F(a)=01lnxxa1dxdadF(a)=01alnxxa1dxa01lnxxa1dx!!!!!!!!!!!!=01xadx=1+a1xa+1dx01=1+a1
则F(a)=∫0111+ada=ln(1+a)+c当a=0:F(0)=0=ln(0+1)+c,则c=0原式=ln(a+1)则F(a)=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+a}da=ln(1+a)+c\\ 当a=0:F(0)=0=ln(0+1)+c ,则c=0\\ 原式=ln(a+1)F(a)=011+a1da=ln(1+a)+ca=0:F(0)=0=ln(0+1)+c,c=0=ln(a+1)

二重积分交换积分顺序

=∫01∫0axydydx=∫0axy+1∣01(y+1)dy=∫0a1(y+1)dy=ln(y+1)∣0a=ln(a+1) =\int_{0}^{1}∫_{0}^{a}x^ydydx \\ =∫_0^a\frac{x^{y+1}|_0^1}{(y+1)}dy\\ =∫_0^a\frac{1}{(y+1)}dy\\ =ln(y+1)|_0^a\\ =ln(a+1) =010axydydx=0a(y+1)xy+101dy=0a(y+1)1dy=ln(y+1)0a=ln(a+1)

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