∫01xa−1lnxdx=ln(a+1)\int_{0}^{1}\frac{x^a-1}{lnx}dx=ln(a+1)∫01lnxxa−1dx=ln(a+1)
求导 积分 再积分
F(a)=∫01xa−1lnxdxdF(a)da=∫01∂xa−1lnx∂adxa∫01xa−1lnxdx!!!!!!!!!!!!含参变量的积分最重要的一点就是不要把指数和对数函数的求导弄混了=∫01xadx=11+axa+1dx∣01=11+aF(a)=\int_{0}^{1}\frac{x^a-1}{lnx}dx\\
\frac{dF(a)}{da}=\int_{0}^{1}\frac{\partial \frac{x^a-1}{lnx}}{\partial a}dx\\
a\int_{0}^{1}\frac{x^{a-1}}{lnx}dx
!!!!!!!!!!!!
\\含参变量的积分最重要的一点就是不要把指数和对数函数的求导弄混了\\
=\int_{0}^{1}x^adx=\frac{1}{1+a}x^{a+1}dx|_{0}^{1}=\frac{1}{1+a}
F(a)=∫01lnxxa−1dxdadF(a)=∫01∂a∂lnxxa−1dxa∫01lnxxa−1dx!!!!!!!!!!!!含参变量的积分最重要的一点就是不要把指数和对数函数的求导弄混了=∫01xadx=1+a1xa+1dx∣01=1+a1
则F(a)=∫0111+ada=ln(1+a)+c当a=0:F(0)=0=ln(0+1)+c,则c=0原式=ln(a+1)则F(a)=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+a}da=ln(1+a)+c\\
当a=0:F(0)=0=ln(0+1)+c ,则c=0\\
原式=ln(a+1)则F(a)=∫011+a1da=ln(1+a)+c当a=0:F(0)=0=ln(0+1)+c,则c=0原式=ln(a+1)
二重积分交换积分顺序
=∫01∫0axydydx=∫0axy+1∣01(y+1)dy=∫0a1(y+1)dy=ln(y+1)∣0a=ln(a+1) =\int_{0}^{1}∫_{0}^{a}x^ydydx \\ =∫_0^a\frac{x^{y+1}|_0^1}{(y+1)}dy\\ =∫_0^a\frac{1}{(y+1)}dy\\ =ln(y+1)|_0^a\\ =ln(a+1) =∫01∫0axydydx=∫0a(y+1)xy+1∣01dy=∫0a(y+1)1dy=ln(y+1)∣0a=ln(a+1)