两中值问题+一元微积分

本文探讨了如何利用拉格朗日中值定理解决两个连续可导函数在区间[0,1]上的中值问题,通过构造方程并分析解的存在性,证明了特定形式的等式。重点讲解了af(a)+bf(b)=a+b和f(a)a/f(a)+f(b)b/(f(b))=a+b的证明过程,并指出f(c)可能的取值情况。

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两中值问题的证明

等于

同一区间使用两次

不等两种情况

c是不能直接看出来的,肯定和题目有关的,要靠推倒出来的
求c使用待定系数法,先分为两段用用拉个朗日中值定理,看看我们能得到什么结果。

1.将一个区间分开
2.分别使用中值定理

例题:设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1,证明:对任意a,b>0,af(a)+bf(b)=a+b 设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导 ,f(0)=0,f(1)=1,证明:\\ 对任意a,b>0,\frac{a}{f(a)}+\frac{b}{f(b)}=a+bf(x)[0,1],(0,1)f(0)=0,f(1)=1,ab>0f(a)a+f(b)b=a+b
当可以相同时比较好证明,直接使用拉格朗日定理就行了f(c)−f(0)c=f′(ξ1)f(1)−f(c)1−c=f′(ξ2)则a∗cf(c)+b∗1−c1−f(c)=a+b形式ct(1−t)=a(1−t)+bt=ct2+(b−a−c)t+a最多有两个解解出f(c)=c或者是aa+b,由介值定理知点(c,aa+b)存在 当可以相同时比较好证明,直接使用拉格朗日定理就行了 \\ \frac{f(c)-f(0)}{c}=f'(ξ_1) \\ \frac{f(1)-f(c)}{1-c}=f'(ξ_2) \\ 则a*\frac{c}{f(c)}+b*\frac{1-c}{1-f(c)}=a+b\\ \\形式ct(1-t)=a(1-t)+bt=ct^2+(b-a-c)t+a最多有两个解\\ 解出f(c)=c或者是 \frac{a}{a+b} ,由介值定理知点(c,\frac{a}{a+b} )存在使cf(c)f(0)=f(ξ1)1cf(1)f(c)=f(ξ2)af(c)c+b1f(c)1c=a+bct(1t)=a(1t)+bt=ct2+(bac)t+af(c)=ca+ba,c,a+ba
在这里插入图片描述

f( c )=c,开区间上f(x)不一定存在(c,c)点

在这里插入图片描述
注:所以当f( c )=1-c或1-c^2时,或者是某个(0,1)中的特定数值时,c点才存在,当使用这种方法不太好出结果时,就需要考虑其他方法了

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