两中值问题的证明
等于
同一区间使用两次
不等两种情况
c是不能直接看出来的,肯定和题目有关的,要靠推倒出来的
求c使用待定系数法,先分为两段用用拉个朗日中值定理,看看我们能得到什么结果。
1.将一个区间分开
2.分别使用中值定理
例题:设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1,证明:对任意a,b>0,af(a)+bf(b)=a+b 设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导 ,f(0)=0,f(1)=1,证明:\\
对任意a,b>0,\frac{a}{f(a)}+\frac{b}{f(b)}=a+b设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1,证明:对任意a,b>0,f(a)a+f(b)b=a+b
当可以相同时比较好证明,直接使用拉格朗日定理就行了f(c)−f(0)c=f′(ξ1)f(1)−f(c)1−c=f′(ξ2)则a∗cf(c)+b∗1−c1−f(c)=a+b形式ct(1−t)=a(1−t)+bt=ct2+(b−a−c)t+a最多有两个解解出f(c)=c或者是aa+b,由介值定理知点(c,aa+b)存在 当可以相同时比较好证明,直接使用拉格朗日定理就行了 \\
\frac{f(c)-f(0)}{c}=f'(ξ_1) \\ \frac{f(1)-f(c)}{1-c}=f'(ξ_2) \\ 则a*\frac{c}{f(c)}+b*\frac{1-c}{1-f(c)}=a+b\\
\\形式ct(1-t)=a(1-t)+bt=ct^2+(b-a-c)t+a最多有两个解\\
解出f(c)=c或者是 \frac{a}{a+b} ,由介值定理知点(c,\frac{a}{a+b} )存在当可以相同时比较好证明,直接使用拉格朗日定理就行了cf(c)−f(0)=f′(ξ1)1−cf(1)−f(c)=f′(ξ2)则a∗f(c)c+b∗1−f(c)1−c=a+b形式ct(1−t)=a(1−t)+bt=ct2+(b−a−c)t+a最多有两个解解出f(c)=c或者是a+ba,由介值定理知点(c,a+ba)存在
f( c )=c,开区间上f(x)不一定存在(c,c)点
注:所以当f( c )=1-c或1-c^2时,或者是某个(0,1)中的特定数值时,c点才存在,当使用这种方法不太好出结果时,就需要考虑其他方法了