两中值问题+一元微积分

两中值问题的证明

等于

同一区间使用两次

不等两种情况

c是不能直接看出来的，肯定和题目有关的，要靠推倒出来的
求c使用待定系数法，先分为两段用用拉个朗日中值定理，看看我们能得到什么结果。

1.将一个区间分开
2.分别使用中值定理

例题：$$\begin{gathered} 设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导，f(0)=0,f(1)=1,证明： \\ 对任意a，b>0，\frac{a}{f(a)}+\frac{b}{f(b)}=a+b \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 当可以相同时比较好证明，直接使用拉格朗日定理就行了 \\ \frac{f(c)-f(0)}{c}=f^{\prime }({\xi }_1) \\ \frac{f(1)-f(c)}{1-c}=f^{\prime }({\xi }_2) \\ 则a\ast \frac{c}{f(c)}+b\ast \frac{1-c}{1-f(c)}=a+b \\ 形式ct(1-t)=a(1-t)+bt=c{t}^2+(b-a-c)t+a最多有两个解 \\ 解出f(c)=c或者是\frac{a}{a+b},由介值定理知点（c,\frac{a}{a+b}）存在 \end{gathered}$$

f( c )=c，开区间上f(x)不一定存在（c，c）点

注：所以当f( c )=1-c或1-c^2时，或者是某个（0，1）中的特定数值时，c点才存在，当使用这种方法不太好出结果时，就需要考虑其他方法了