【题解】【信奥一本通T1230】【贪心】——寻找平面上的极大点

寻找平面上的极大点

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题目描述

在一个平面上，如果有两个点$(x,y)$，$(a,b)$，如果说$(x,y)$支配了$(a,b)$，这是指$x\ge a$，$y\ge b$;

用图形来看就是$(a,b)$坐落在以$(x,y)$为右上角的一个无限的区域内。

给定$n$个点的集合，一定存在若干个点，它们不会被集合中的任何一点所支配，这些点叫做极大值点。

编程找出所有的极大点，按照$x$坐标由小到大，输出极大点的坐标。本题规定：$n$不超过$100$，并且不考虑点的坐标为负数的情况。

输入格式

输入包括两行，第一行是正整数$n$，表示是点数，第二行包含$n$个点的坐标。
坐标值都是整数，坐标范围从$0$到$100$，输入数据中不存在坐标相同的点。

输出格式

按$x$轴坐标最小到大的顺序输出所有极大点。
输出格式为:$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,…$(x_k,y_k)$。
注意：输出的每个点之间有,分隔，最后一个点之后没有,，少输出和多输出都会被判错。

输入输出样例

输入 #1

5
1 2 2 2 3 1 2 3 1 4

输出 #1

(1,4),(2,3),(3,1)

提示

解法1.暴力枚举

1.1.题意解析

    直接暴力枚举所有点，如果这个点被"支配"，那么就标记。否则就在后面直接输出。不过多阐述。

1.2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 110
int n,tot,vis[MAXN];//用vis标记这个点是否不是"极大点"
struct point//储存每一个点的信息 
{
	int x,y;
}a[MAXN];
bool cmp(point a,point b)//输出需要,排序规则 
{
	if(a.x==b.x)return a.y<b.y;
	else return a.x<b.x;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);tot=n;//用tot储存"极大点"的个数 
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    for(int j=1;j<=n;j++)//循环判断是否被"支配" 
	        if(a[i].x<=a[j].x&&a[i].y<=a[j].y&&i!=j)
	        {//如果被"支配" 
	        	vis[i]=1;
				tot--;
				break;
			}
	for(int i=1,j=1;i<=n&&j<=tot;i++)
	    if(!vis[i])//不被任何点支配,就是"极大点" 
	    {
	    	printf("(%d,%d)",a[i].x,a[i].y);
	    	if(j++<tot)putchar(',');//不是最后一个点,输出, 
		}
    return 0;
}

解法2.贪心

2.1.题意解析

    上述做法的时间复杂度是$O(n^2)$，还有没有改进的办法？

    观察上面的这张图（给你们搬到下面来了）

    如果将这张图倒过来看，将是这样的场景。（将就着看吧）

    我们可以考虑将每一个点按y坐标从大到小排序。在后面的遍历中，除非有点能超过它的$x$坐标，不然就绝对会被它支配。读者可以自行思考并设法证明。

    在代码实现中，使用一个变量lastx记录当前最后一次贪心选择的$x$坐标。其他就没什么好讲的了。这种办法可以将时间复杂度降到$O(n\log n)$（排序）。只可意会不可言传，直接看代码。

2.2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 110
struct point//储存每一个点的信息 
{
    int x,y;
}a[MAXN];
bool cmp(point a,point b)
{
    if(a.y==b.y)return a.x>b.x;
    return a.y>b.y;//优先按y坐标排序 
}
int main()
{
    int n,lastx=-1,is_first=1;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i].x>>a[i].y;
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(a[i].x>lastx)//符合条件 
        {
            lastx=a[i].x;
            if(is_first)is_first=false;
            else putchar(',');
            printf("(%d,%d)",a[i].x,a[i].y);
        }
	return 0;
}

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