动态规划最长上升子序列问题讲解和【题解】【洛谷B3637】——最长上升子序列（附C++代码实现）

1.概念解析

    最长上升子序列$（LongestIncreasingSubsequence，LIS）$，在计算机科学上是指一个序列中最长的单调递增的子序列。最长上升子序列问题，就是求出一个序列中这样的子序列的长度的问题（不要求一定连续）。

2.详细讲解

最长上升子序列

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题目描述

这是一个简单的动规板子题。

给出一个由 $n(n\le 5000)$ 个不超过 $10^6$ 的正整数组成的序列。请输出这个序列的最长上升子序列的长度。

最长上升子序列是指，从原序列中按顺序取出一些数字排在一起，这些数字是逐渐增大的。

输入格式

第一行，一个整数 $n$，表示序列长度。

第二行有 $n$ 个整数，表示这个序列。

输出格式

一个整数表示答案。

输入输出样例

输入 #1

6
1 2 4 1 3 4

输出 #1

4

提示

分别取出 $1$、$2$、$3$、$4$ 即可。

思路解析

    这是一道经典的动态规划例题，可以直接采用动态规划五步走。

1.状态：dp[i]表示以i结尾的最长子序列的长度。

    状态不用过多解释。

2.初始条件：dp[i]=1。

    初始条件很容易明白，每一个数自己可以构成一个序列，也就是$dp[i]$至少为$1$。

3.状态转移方程$$dp[i]=max(1,dp[j]+1)(j\in [1,i)且a[i]>a[j])$$

    接下来是状态转移方程。我们可以遍历i前面的所有数j。如果a[i]>a[j]，即第i个数比第j个数小，那么就可以把第i个数接到第j个数后面。长度就变为了dp[j]+1（把第i个数接到后面去了，所以要$+1$）。取其中的最大值就行了。

4.答案：$max(dp[i])$。

    最后是答案。很明显，最长上升子序列有可能是以任何数结尾的。在转移状态时，我们就可以将当前状态与ans取个较大值，具体请看程序示例。

5.时间复杂度：$O(n^2)$

    有双重循环，此算法的时间复杂度为$O(n^2)$。

    我们将上面的样例代入一下，得到这样的$dp$表：

数	1	2	4	1	3	4
$dp$数组中的值	1	2	3	1	3	4

    请读者认真理解，以加深印象。可以尝试自己编写程序。

3.示例程序

直接输出答案：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 5010 //题目中n数据范围,可以按情况改动
int main(){
	int n, a[MAXN], dp[MAXN], ans = 0; //先给ans赋一个最小值
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <=n; i++)scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <=n; i++){
		dp[i] = 1; //初始状态
		for (int j = 1; j < i; j++)
	        if (a[j] < a[i]) //状态转移方程
		        dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
		ans = max(ans, dp[i]); //答案
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

输出表格：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 5010 //题目中n数据范围,可以按情况改动
int main(){
	int n, a[MAXN], dp[MAXN];
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <=n; i++)scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <=n; i++){
		dp[i] = 1; //初始状态
		for (int j = 1; j < i; j++)
	        if (a[j] < a[i]) //状态转移方程
		        dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)printf("%d ",dp[i]);
	return 0;
}

纯净无注释版：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 5010
int main(){
    int n, a[MAXN], dp[MAXN], ans = 0;
    scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <=n; i++)scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        dp[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i ; j++)
            if (a[j] < a[i])
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
        ans = max(ans, dp[i]);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

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