高等数学基础（2）——微积分

　　微积分是高等数学中研究函数的微分，积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限，微分学，积分学及其应用。微分学包含求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数，速度，加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包含求积分的运算，为定义和计算面积，体积等提供一套通用的方法。

　　前一节博客已经整理了求导的公式，一些常用的概念。链接如下：高等数学基础（1）-优快云博客。而这里主要学习一下微积分的起源。因为微积分是现代数学的基础，后面学习的线性代数，矩阵论，最优化方法等数学课程都需要微积分的知识。单就机器学习和深度学习而言，更多的用到微分，积分基本上只在概率论中被使用，概率密度函数，分布函数等概念和计算都要借助于积分来定义或计算。　　

　　（注意：目前自己补充到的所有知识点，均按照自己之前看的网课视频中老师课程知识点走的，大概是四年前了，并不是大学课本的搬运，只是快速总结。如有错误请多多指正，谢谢！）

1，微积分的起源

　　微积分有多重要，相信大家多多少少心里有点数，特别是我们这些学数学的。好了废话不多说了，直接来学。

　　微积分诞生于 17 世纪，主要帮助人们解决各种速度，面积等实际问题。下图为微积分的发明者牛顿和莱布尼兹大佬，瞻仰一下。

　　我们从小学数学就学会了各种求面积的公式，比如长方形，三角形，圆，梯形等等。不知道大家有没有想过一个问题：好像我们每新学习一种新图形就有一个新的面积公式，可是世界上有无数种图形，我们难道要记无数种公式吗？，而且还有一些图形根本没有什么面积公式，比如随手画一条曲线，这条曲线围成的面积如何计算呢？　　

　　所以面对如何求一条曲线围成的面积就有很多人去研究。面对这个问题，古今中外的数学家的想法都是类似的，那就是：用我们熟悉的图像（比如三角形，长方形等）去逼近曲线围成的图像面积。这就好比在铺地砖的时候，我们会用尽可能多的瓷砖填满地板，然后这些瓷砖的面积之和差不多就是地板的面积。这里就蕴含了微积分的思想了。

　　微积分主要解决如何求曲线的面积。我们这里可以把微积分拆分成 “微分” 和 “积分”两个词，

　　首先来看积分，积分这个词当初被造出来，就是用来表示“由无穷个无穷小的面积组成的面积S”。

　　如上图所示，如果一条曲线 y=f(x) 和 x 轴在 a 和 b 之间围成的面积为A，那么我们就可以这样表示这部分面积A：

　　微积分的思想是：以直代曲。

　　为了加深一下对上面这个积分公式的理解，我们再来用矩阵试一下，对于矩形，我们可以轻松求得其面积，那么是否能够用矩形代替曲线形状呢?如果要代替则应该用多少个矩阵来代替呢？

　　如下图，我们可以将其分为四个矩阵，九个矩阵：

 　　我们用有限个矩阵把a和b之间分为四份，我们看到如果只是用矩阵求面积的话，还是有很大误差的，但是使用九个的话，误差就缩小了，那么我们是否可以使用无穷多个矩形来逼近原面积，这样误差就变得无穷小了，答案是肯定的。当我们使用无数个矩阵来逼近原面积的时候，每个矩形的底自然就变成了无穷小，这个无穷小的底就是上面的 dx，而 f(x) 就是函数的纵坐标，矩阵的底，高相乘不就是求面积了吗？

　　下面说说公式由来。

　　在 ab 之间插入若干个点，这样就得到了 n个小区间。

　　每一个小矩形面积为：

　　近似得到曲线面积：

　　当分割无限加细，每个小区间的最大长度为 λ ，此时 λ -> 0

　　曲边面积：

　　不过这里再吹吹牛逼。

　　上面将 dx 当做一个无穷小的底，把积分当做求面积，这些都是微积分创立初期的看法。这种看法非常符合我们的直观，但是逻辑上是不严密的。这种无穷小量 dx 也招致了很多人（比如贝克莱）对微积分的攻击，并且引发了第二次数学危机，这场危机一直到19世纪柯西等人完成了微积分的严密化之后才彻底化解。随着微积分的涅槃重生，我们对这些基本概念的看法也发生了根本的改变。

　　关于求面积的事情这里就说完了。“用一些图形去无限逼近曲线图形”的想法很早就有了，穷竭法在古希腊就很成熟了，中国魏晋时期的数学家刘徽使用割圆术去逼近圆周率也是这种思想。到了17世纪初，这些思想并没有什么太大的改变，由于这些解法比较复杂，又很难扩展，所以大家的关注度并不高。

　　没办法，因为打死人也想不到：破解这种求曲线面积（求积分）的关键，竟然藏在一个看起来跟他毫无关联的东西身上，这个东西就是微积分名字的另一半：微分。当牛顿和莱布尼兹意识到微分和积分之间的内在关系之后，数学就迎来了一次空前的大发展。

　　从求和出发，我们需要尽可能的将每一个矩阵的底边无穷小，莱布尼兹为了体现求和的感觉，给 S 拉长了，简写成：∫ f(x) dx。

2，直线和斜率

　　微积分的基本概念是导数。

　　关于导数呢，举个例子：我们爬山的时候，山越陡越难爬；骑车的时候，路面的坡度越大越难骑。一个面的坡度越大，倾斜的越厉害，我们就越难上去，那么我们该如何衡量这个倾斜程度呢？

　　在平面里画一条直线，我们可以直观地看出这条直线的倾斜程度，而且还不难发现：不管在直线的什么地方，它的倾斜程度都是一样的。所以我们就可以用一个量来描述这整条直线的倾斜程度，这个概念就被形象的称为斜率。

　　那么，一条直线的斜率要怎么计算呢？这个想法也很直观：建一个坐标系，看看直线在 x 轴改变了 Δx 的时候，它在 y 轴的改变量 Δy 是多少。如果 Δx 是固定的，那么显然 Δy 越大，这条直线就斜的越厉害，斜率也就越大。

　　这就和我们判断跑步的速度是一样的道理：给定一个固定的时间，比如10秒（相当于固定的 Δx），看看你能跑多远（相当于 Δy），你跑的越远（Δy 越大），我就认为你跑得就越快。当然也可以反过来，给定一个固定的距离，比如100米（相当于Δy），你跑的时间越短（Δx 越小），我就认为你跑的越快。

　　把这两种情况综合一下，我们就能发现：固定时间（Δx）也好，固定距离（Δy）也好，最终起决定作用的是Δy和Δx的比值Δy/Δx。这个比值越大，你就跑得越快，对应的直线也就越陡。所以，我们就可以在直线上随意找两个点，用它们纵坐标之差Δy和横坐标之差Δx的比值（Δy/Δx）来定义这条直线斜率。

　　学过三角函数的同学也会知道，这个斜率刚好就是这条直线和x轴夹角θ的正切值tanθ，即：tanθ=Δy/Δx。这就是说，直线和x轴的夹角θ越大，它的斜率就越大，就倾斜的越厉害，这跟经验都是一致的。

3，曲线和切线

　　直线好说，关键是曲线怎么办？曲线跟直线不同，它完全可以在这里平缓一点，在那里陡峭一点，它在不同地方的倾斜程度是不一样的。所以，我们就不能说一条曲线的倾斜程度（“斜率”），而只能说曲线在某个具体点的倾斜程度。

　　于是我们要引入一个新的概念：切线。

　　切线，直观的看，就是刚好在这点“碰到”曲线的直线，因为切线是直线，所以切线有斜率，于是我们就可以用切线的斜率代表曲线在这点的倾斜程度。

　　传统上我们可以这样定义切线：先随便画一条直线，让这条直线与曲线有两个交点，这样的直线叫割线（仿佛把曲线“割断”了，如下图蓝色的AB）。然后，我们让B点沿着曲线慢慢向A点靠近，直观上，等到B点和A点重合之后，割线AB就变成了曲线在A点的切线。

　　这样做很符合人们的直观，但是它在逻辑上会有一点问题：当B点向A点移时，它是什么时候从割线变成切线呢？

　　重合的时候吗？如果B点和A点重合，那就剩下一个点了，我们知道“两点确定一条直线”，一个点怎么能确定一条直线呢？但是，如果B点和A点不重合的话，那么这就仍然是一条割线而不是切线啊。

　　于是，这样就出现了一个“一看非常简单直观，但是怎么说都说不圆”的情况，似乎两个点不行，一个点也不行，怎么办？

　　解决这个问题有一个很朴素的思路：要确定这条切线，让A，B两点重合是不行的，但是让他们分得太开也不行。最好就是让着两点靠近靠近无限靠近，但是就是不让他们重合。没重合的话就依然是两个点。两个点可以确定一条直线；无限靠近的话又可以把他们跟一般的割线区分开