高数简单总结

1，夹逼定理

如果数列 {an}、{bn} 和 {cn} 满足 an≤bn≤cn，且

$$
\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}= \lim _{n\rightarrow \infty }c_{n}=L
$$

，则

$$
\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=L
$$

2，高阶无穷小

设 α和 β 是两个无穷小量（即当 x→a时， α→0且 β→0）。

如果

$$
\lim _{x\rightarrow a }\dfrac{α}{β}=0
$$

，则称 α是 β的高阶无穷小，记作 α=o(β)。即α的收敛速度比 β快。

如：

$$
\lim _{x\rightarrow 0 }\dfrac{x^{2}}{3x}=0
$$

x^2比3x收敛速度快，则x^2是3x的高阶无穷小，记作

$$
x^{2}=o(3x)
$$

3，零点定理：

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b]上连续，并且 f(a) 和 f(b) 异号（即 f(a)⋅f(b)<0），则存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=0。

介值定理：（后边会用）

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，并且 f(a)≠f(b)。对于任意介于 f(a)和 f(b)之间的数 k（即 min⁡(f(a),f(b))<k<max⁡(f(a),f(b))），存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=k。

零点定理与介值定理的关系：

零点定理是介值定理的特例：

• 零点定理可以看作是介值定理在 k=0时的特例。

• 如果 f(a)和 f(b)异号，则 0 介于 f(a) 和 f(b)之间，因此存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=0。

4，可导性蕴含连续性，连续性不一定蕴含可导性

5，求导公式（求微分实际上就是求导数）

5.1和差规则：

$$
\dfrac{d}{dx}(f(x)±g(x))=f′(x)±g′(x)或(u±v)'=u'±v'
$$

5.2乘积规则：

$$
\dfrac{d}{dx}(f(x)⋅g(x))=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)或(uv)'=u'v+uv'
$$

5.3商规则：

$$
\dfrac{d}{dx}(\dfrac{f(x)}{g(x)})=\dfrac{f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)}{[g(x)]^{2}}或(\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}
$$

其中 g(x)≠0。

5.4链式法则(复合函数求导)：

$$
\dfrac{d}{dx}(f(g(x)))=f′(g(x))⋅g′(x)或\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}.\dfrac{du}{dx}
$$

5.5常用求导公式

$$
\dfrac{d}{dx}(log⁡_{a}(x))=\dfrac{1}{xln⁡(a)}
$$

其中 a>0且 a≠1。

$$
\dfrac{d}{dx}(tan⁡(x))=sec^{⁡2}(x)=\dfrac{1}{cos^{2}(x)}
$$

反三角函数：

$$
\dfrac{d}{dx}(arcsin⁡(x))=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$

$$
\dfrac{d}{dx}(arccos⁡(x))=−\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$

$$
\dfrac{d}{dx}(arctan⁡(x))=\dfrac{1}{1+x^{2}}
$$

6，拉格朗日中值定理

如果函数 f(x)满足以下条件：

1. 在闭区间 [a,b] 上连续。

2. 在开区间 (a,b)上可导。

那么，在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得：

$$
f′(c)=\dfrac{f(b)−f(a)}{b−a}
$$

拉格朗日中值定理的几何意义是：在区间 [a,b] 上，函数 f(x) 的图像上至少存在一点 c，使得该点处的切线斜率等于区间端点法线的斜率。

7，柯西中值定理

如果函数 f(x) 和 g(x) 满足以下条件：

1. 在闭区间 [a,b]上连续。

2. 在开区间 (a,b)上可导。

3. 在开区间 (a,b) 内，g′(x)≠0。

那么，在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得：

$$
\dfrac{f′(c)}{g′(c)}=\dfrac{f(b)−f(a)}{g(b)−g(a)}
$$

柯西中值定理的几何意义是：在区间 [a,b] 上，函数 f(x)和 g(x) 的图像上至少存在一点 c，使得该点处的切线斜率之比等于区间端点连线的斜率之比。

8，洛必达法则

洛必达法则用于求解不定型极限问题。不定型极限是指在求极限时，分子和分母都趋向于零（即 0/0 型）或分子和分母都趋向于无穷大（即 ∞/∞ 型）的情况。洛必达法则通过求导数来简化这些极限的计算。

设函数 f(x)和 g(x 满足以下条件：

1. 在点 a 的某个去心邻域内可导，且 g′(x)≠0。

2. $$
   \lim _{x\rightarrow a}f(x)=0 且 \lim _{⁡x\rightarrow a}g(x)=0，或者 \lim _{x\rightarrow a}f(x)=±∞ 且 \lim _{x\rightarrow a}g(x)=±∞。
   $$

    

如果

$$
\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f′(x)}{g′(x)}
$$

存在（或为无穷大），那么：

$$
\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f′(x)}{g′(x)}
$$

9，正凹负凸与极值

10，不定积分是求原函数的函数簇，定积分是求解函数在某个区间上的累积效应或面积

11，定积分具有以下重要性质：

1. 线性性质：

   $$
   ∫_{a}^{b}[cf(x)+dg(x)] dx=c∫_{a}^{b}f(x) dx+d∫_{a}^{b}g(x) dx
   $$

    

   其中 c 和 d 是常数。

2. 区间可加性：

   $$
   ∫_{a}^{b}f(x) dx=∫_{a}^{c}f(x) dx+∫_{c}^{b}f(x) dx
   $$

    

   其中 a≤c≤b。

3. 积分上下限交换：

   $$
   ∫_{a}^{b}f(x) dx=−∫_{b}^{a}f(x) dx
   $$

4. 定积分中值定理

   如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则存在 c∈[a,b]，使得：

$$
∫_{a}^{b}f(x) dx=f(c)(b−a)
$$

12，多元函数与偏导数和全微分